§2数集·确界原理 并给出确界定义和确界原理, 区间与邻域 设a、b∈R,且a<b.我们称数集{xa<x<b为开区间,记作(a,b);数 集{x|a≤x≤b}称为闭区间,记作[a,b];数集{x|a≤x<b和{x|a<x≤b 都称为半开半闭区间,分别记作[a,b)和(a,b].以上这几类区间统称为有限区 间从数轴上来看,开区间(a,b)表示a、b两点间所有点的集合,闭区间[a,b] 比开区间(a,b)多两个端点,半开半闭区间[a,b)比开区间(a,b)多一个端点a 等 满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a,+∞),这里符号∞读作“无 穷大”,+∞读作“正无穷大”类似地,我们记 ]={x|x≤a},(a,+∞0)={x|x> (-∞,a)={x|x<a},(-∞,+∞)={x|-∞<x<+∞}=R, 其中-∞读作“负无穷大”以上这几类数集都称为无限区间有限区间和无限区 间统称为区间 设a∈R,8>0.满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点 a的δ邻域,记作U(a;δ),或简单地写作U(a),即有 <δ}=(a-δ,a+δ) 点a的空心δ邻域定义为 °(a;6)={x|0<|x 它也可简单地记作U°(a).注意,U°(a;6)与U(a;δ)的差别在于:U°(a;δ)不 包含点a 此外,我们还常用到以下几种邻域: 点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a,a+8),简记为U+(a); 点a的δ左邻域U(a;8)=(a-δ,a],简记为U-(a); (U-(a)与U+(a)去除点a后,分别为点a的空心δ左、右邻域,简记为 U°-(a)与U°+(a).) ∞域U(∞)={x|x>M},其中M为充分大的正数(下同); +∞邻域U(+∞)={x|x>M};=∞0域U(-∞)={x|x<-M} 二有界集·确界原理 定义1设S为R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切x∈S,都 有x≤M(x≥L),则称S为有上界(下界)的数集,数M(L)称为S的一个上界 下界)
第一章实数集与函数 若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集若S不是有界集,则称S 为无界集 例1证明数集N={n|n为正整数}有下界而无上界 证显然,任何一个不大于1的实数都是N的下界,故N+为有下界的数 集 为证N无上界,按照定义只须证明:对于无论多么大的数M,总存在某个 正整数n0(∈N+),使得n0>M事实上,对任何正数M(无论多么大),取n0= [M]+10,则no∈N,且n0>M这就证明了N无上界 读者还可自行证明:任何有限区间都是有界集,无限区间都是无界集;由有 限个数组成的数集是有界集 若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常 具有重要的作用,称它为数集S的上确界.同样,有下界数集的最大下界,称为 该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义 定义2设S是R中的一个数集若数满足 (i)对一切x∈S,有x≤,即n是S的上界 (i)对任何a<n,存在x0∈S,使得x0>a,即n又是S的最小上界, 则称数y为数集S的上确界记作 n=sup s 定义3设S是R中的一个数集若数满足 (i)对一切x∈S,有x≥6,即是S的下界 (i)对任何B>,存在x0∈S,使得x0<B,即又是S的最大下界, 则称数为数集S的下确界,记作 上确界与下确界统称为确界 例2设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}试按上、下确界的定义验证: sup s=l, inf S=0. 解先验证SupS=1 (i)对一切x∈S,显然有x≤1,即1是S的上界 (i)对任何a<1,若a≤0,则任取x0∈S都有xo>a;若a>0,则由有理数 集在实数集中的稠密性在(a,1)中必有有理数x0,即存在xo∈S,使得x0>a 类似地可验证infS=0 读者还可自行验证:闭区间[0,1]的上、下确界分别为1和0;对于数集 ①[x]表示不超过数x的最大整数例如[2.91]=2,[-41]=-5 ②sup是拉丁文 supremum(上确界)一词的简写;下面的int是拉丁文 infimum(下确界)…词的简写
§2数集·确界原理 E=/11n=1,有upE=3,nfE=-1;正整数集N有下确界nf N+=1,而没有上确界. 注1由上(下)确界的定义可见,若数集S存在上(下)确界,则一定是唯 的又若数集S存在上、下确界,则有infS≤supS 注2从上面一些例子可见,数集S的确界可能属于S,也可能不属于S 例3设数集S有上确界.证明 7=supS∈S台=m 证→)设n=spS∈S,则对一切x∈S有x≤7,而n∈S,故n是数集 S中最大的数,即?=maxS )设n=maxS,则n∈S;下面验证7=sup (i)对一切x∈S,有x≤n,即n是S的上界; (i)对任何a<n只须取x0=n∈S,则x0>a.从而满足7=supS的定 义 关于数集确界的存在性,我们给出如下确界原理 定理1.1(确界原理)设S为非空数集.若S有上界,则S必有上确界;若 S有下界,则S必有下确界 证我们只证明关于上确界的结论,后一结论可类似地证明 为叙述的方便起见,不妨设S含有非负数.由于S有上界,故可找到非负整 数n,使得 1)对于任何x∈S有x<n+1 2)存在a0∈S,使a0≥n 对半开区间[n,n+1)作10等分,分点为n.1,n,2,…,n.9,则存在0,1,2, 9中的一个数n1,使得 1)对于任何x∈S有x<n,n110 2)存在a1∈S,使a1≥n.n1 再对半开区间[n.n1,n.m1+10)作10等分,则存在0,1,2,…,9中的一个 数n2,使得 1)对于任何x∈S有x<n,n1n2+102i 2)存在a2∈S,使a2≥n.n1n2 q记号max是 maximur(最大)一词的简写,=maxS表示数n是数集S中最大的数以下将出现 的记号min是 minimum(最小)一词的简写,minS表示数集S中最小的数
8 第一章实数集与函数 继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间,可知对任何k=1,2, 存在0,1,2,…,9中的一个数nk,使得 1)对于任何x∈S有x<n,n12nk1x (1) 2)存在ak∈S,使ak≥n,n1n2…nk 将上述步骤无限地进行下去得到实数n=n.n1n2…nk…以下证明 supS.为此只需证明: (1)对一切x∈S有x≤m;(i)对任何a<n,存在a'∈S使a<a 倘若结论(1)不成立,即存在x∈S使x>n,则可找到x的k位不足近似 xk,使 k n. n1n n 从而得 n nI 但这与不等式(1)相矛盾于是(i)得证 现设a<n,则存在k使的k位不足近似>ak,即 7 k 根据数n的构造存在a'∈S使a≥,从而有 即得到a<a.这说明(i)成立 在本书中确界原理是极限理论的基础,读者应给予充分的重视 例4设A、B为非空数集满足:对一切x∈A和y∈B有x≤y.证明:数 集A有上确界,数集B有下确界,且 supA≤infB (2) 证由假设,数集B中任一数y都是数集A的上界,A中任一数x都是B 的下界,故由确界原理推知数集A有上确界,数集B有下确界 现证不等式(2)对任何y∈B,y是数集A的一个上界,而由上确界的定义 知,supA是数集A的最小上界,故有supA≤y而此式又表明数supA是数集 B的一个下界,故由下确界定义证得supA≤infB 例5设A、B为非空有界数集,S=A∪B.证明: (i)sup s=maxisup A, sup B (ii)inf S=minfinf A, inf B 证由于S=A∪B显然也是非空有界数集,因此S的上、下确界都存在 (i)对任何x∈S,有x∈A或x∈B→x≤supA或x≤supB,从而有x≤
§2数集·确界原理 max{supA,supB},故得supS≤ maxi sup A,supB 另一方面,对任何x∈A,有x∈S→x≤supS→supA≤supS;同理又有 supB≤supS.所以supS≥max{supA,supB 综上,即证得supS= maxisup A,supB} (i)可类似地证明 若把+∞和-∞补充到实数集中,并规定任一实数a与+∞、-∞的大小关系为:a< +∞,a>-∞,-∞<+∞,则确界概念可扩充为:若数集S无上界,则定义+∞为S的非正 常上确界记作supS=+∞;若S无下界,则定义-为S的非正常下确界记作itfS= ∞相应地,前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界 在上述扩充意义下,我们有 推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的) 例如,对于正整数集N有infN,=1,supN,=+∞;对于数集 S={ ∈R (3) 有infS S=2 习题 1.用区间表示下列不等式的解 (1)1-x-x≥0;(2)x+r≤6; (3)(x-a)(x-b)(x-c)>0(a,b,c为常数,且a<b<c); 2.设S为非空数集试对下列概念给出定义: (1)S无上界;(2)S无界 3.试证明由(3)式所确定的数集S有上界而无下界 4.求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证 (1)S={x|x2<2};(2)S={xx=n!,n∈N+}; (3)S={x|x为(0,1)内的无理数}; )S={x|x=1 ∈N+} 5.设S为非空有下界数集.证明: infS=∈S台5 6.设S为非空数集,定义S={x|-x∈S{证明: (1)inf S-=-sup S;(2)sup S=-inf S 7.设A、B皆为非空有界数集定义数集 A+B=z l ∈A,y∈B 、都击