6 目录 七实数的无限小数表示… 299 八无限小数四则运算的定义…… 附录Ⅲ积分表 …303 含有xn的形式 303 二含有a+bx的形式… 303 三含有a2±x2,a>0的形式…… 304 四含有a+bx+cx2,b2≠4ac的形式 五含有√a+bx的形式…… 六含有√x2±a2,a>0的形式…… ……………305 七含有√a2-x2,a>0的形式…………… 八含有sinx或cosx的形式 九含有tanx,cotx,secx,scx的形式………………………307 十含有反三角函数的形式 ………308 十一含有e的形式… 308 十二含有lnx的形式… …………1309 习题答案…… …………310 索引………… ∴………………………330 人名索引… 334
第一章实数集与函数 §1实数 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此,我们先简要叙述 实数的有关概念 实数及其性质 在中学数学课程中,我们知道实数由有理数与无理数两部分组成有理数可 用分数形式2(p、q为整数,q≠0)表示,也可用有限十进小数或无限十进循环 小数来表示;而无限十进不循环小数则称为无理数有理数和无理数统称为实 数 为了以下讨论的需要,我们把有限小数(包括整数)也表示为无限小数对此 我们作如下规定:对于正有限小数(包括正整数)x,当x=a0.a1a2…an时,其 中0≤a;≤9,=1,2,…,n,an≠=0,a0为非负整数,记 (an-1)9999… 而当x=a0为正整数时,则记 x=(a0-1).9999 例如2001记为2.000999…;对于负有限小数(包括负整数)y,则先将-y表 示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号,例如-8记为-7.9999…;又规 定数0表示为0.0000….于是,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法现定义两个实数的大小关系 定义1给定两个非负实数 x=ao,a1a2…an…,y=b0.b1b2…bn 其中a0,bo为非负整数,ak,b(k=1,2,…)为整数,0≤ak≤9,0≤b≤9.若有 k=bk,k=0,1,2 则称x与y相等,记为x=y;若a0>b0或存在非负整数l,使得 b(k=0,1,2,…,l)而a+1> l+1 则称x大于y或y小于x,分别记为x>y或y<x
2 第一章实数集与函数 对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x y与x<y(或y>x).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数 以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此,先给出如下 定义 定义2设x=a0.a1a2…an…为非负实数称有理数 0.a1a2 为实数x的n位不足近似,而有理数 10n 称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,… 对于负实数x=-a0.a1a2an…,其n位不足近似与过剩近似分别规定 为 a0·a1a2an 与 a0·a1a2an 注不难看出,实数x的不足近似xn当n增大时不减,即有x0≤x1≤ x2≤…而过剩近似xn当n增大时不增即有x0=x1≥x2≥… 我们有以下的 命题设x=a0a1a2…与y=b,b1b2…为两个实数,则x>y的等价条 件是:存在非负整数n,使得 其中xn表示x的n位不足近似,yn表示y的n位过剩近似 关于这个命题的证明以及关于实数的四则运算法则的定义,可参阅本书附 录Ⅱ第八节 例1设x、y为实数,x<y.证明:存在有理数r满足 <r< 证由于x<y,故存在非负整数n,使得xn<yn令 则r为有理数,且有 ≤xn<r<yn≤ 即得x<r<y 为方便起见,通常将全体实数构成的集合记为R,即 R={x|x为实数} 实数有如下一些主要性质: 1.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个
81实数 实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数 2.实数集是有序的,即任意两实数a、b必满足下述三个关系之一:a<b, =6.a>b 3.实数的大小关系具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c 4.实数具有阿基米德( Archimedes)性,即对任何a、b∈R,若b>a>0,则 存在正整数n,使得ma>b. 5.实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数(见例1),也有无理数 6.如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点,指定一个 方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此 直线为数轴任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点也都唯 地代表一个实数于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系在本书以 后的叙述中,常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义 例2设a、b∈R证明:若对任何正数E有a<b+e,则a≤b 证用反证法倘若结论不成立,则根据实数集的有序性,有a>b,令E=a b,则E为正数且a=b+e,但这与假设a<b+e相矛盾从而必有a≤b. 关于实数的定义与性质的详细论述,有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ 二绝对值与不等式 实数a的绝对值定义为 ≥0 <0 从数轴上看,数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离 实数的绝对值有如下一些性质: 1.|a|=|-a|≥0;当且仅当a=0时有|a|=0 2.-a≤a≤|a|. 3.|a|<h-h<a<h;a≤h-h≤a≤h(h>0) 4.对于任何a、b∈R有如下的三角形不等式 a-|b|≤|a±b|≤|a|+|b 5.|ab|=|a|b b|=1b61(6≠0) 下面只证明性质4,其余性质由读者自行证明 由性质2有
第一章实数集与函数 la|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b 两式相加后得到 (|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b 根据性质3,上式等价于 a+b|≤|a|+|b 将(1)式中b换成-b,(1)式右边不变,即得a-b|≤|a|+|b|,这就证明了性 质4不等式的右半部分.又由a|=|a-b+b,据(1)式有 a|≤ b|+|b 从而得 a|-|b|≤|a-b (2) 将(2)式中b换成-b,即得|a|-|b≤|a+b|.性质4得证. 习题 1.设a为有理数,x为无理数证明: (1)a+x是无理数;(2)当a≠0时,ax是无理数 2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0;(2)x-1<|x-3; (3)√x-1-√2x-1≥√3x-2 3.设a、b∈R证明:若对任何正数e有a-b<e,则a=b 4.设x≠0,证明x+≥2,并说明其中等号何时成立 5.证明:对任何x∈R有 (1)|x-1+|x-2|≥1;(2)x-1|+|x-2|+|x-3|≥2 6.设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合)证明 +b2 ≤|b-c 你能说明此不等式的几何意义吗? 7.设x>0.b>0,a≠b证明2介于1与为之间 8.设p为正整数证明:若p不是完全平方数,则p是无理数 9.设a、b为给定实数试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解 (1)|x-a|<|x-b|;(2)|x-a|<x-b;(3)|x2-a|<b §2数集·确界原理 本节中我们先定义R中两类重要的数集——区间与邻域,然后讨论有界集