例 设总体X的密度为p(x)=x (6-x),0<x< 12…,￥xn是来自X的样本。 1)求0的矩估计量B;2)求D(0) 解:1) 06x 6 令 6 EX=Lx. a(0-x)dx x,得B=2 2 x 30 2)E (0-xdx 10 D(X=EX-EX) 20 D(6)=D(2X)=4D(X) 5
例 16 令 ，得 ； 设总体X的密度为 3 6 ( ) ( x),0 . x p x x = − 1 , , X X n 是来自X的样本。 3 0 6 E ( )d 2 x X x x x = − = 2 X 解：1） = ˆ = 2X 2 2 2 3 0 6 3 E ( )d 10 x X x x x = − = 2） 2 2 2 D( ) E (E ) 20 X X X = − = 2 D( ) D(2 ) 4D( ) . ˆ 5 X X n = = = 1)求𝜃 的矩估计量𝜃 ；2）求𝐷 𝜃
极大似然估计 抛硬币的例子结果:1001101011:正,0反 p°(1-p) 6log(p)+log(I-p) 8 g 猜测:0.6 8 00020406081.0 0.00204060.810 机制:发生概率大→容易发生→发生
极大似然估计 17 抛硬币的例子 结果：1001110101 1:正，0:反 猜测：0.6？ 机制：发生概率大 容易发生 发生 6 4 p (1 p) − 6log(p) 4log(1 p) + −
极大似然估计 原则 以样本X1,X2,…,n的观测值x1…x, 估计参数日1,62,…,6,若选取61,62,…,Bk 使观测值出现的概率最大,把1.2…, 作为参数a1,02,…,0的估计量
极大似然估计 18 原则： 以样本X1 ,X2 , ... Xn的观测值x1 , ... xn来 估计参数𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘，若选取𝜃 መ 1, 𝜃 መ 2, … , 𝜃 መ 𝑘 使观测值出现的概率最大, 把𝜃 መ 1, 𝜃 መ 2, … , 𝜃 መ 𝑘 作为参数 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘的估计量
离散情况 (1)若总体X为离散型,其分布律 P{X=x}=f(x:2) 的形式为已知,为待估参数。 又设x1,L,x是X1,L,X的一个样本值; 样本X1,L,X取x1,L,x的概率,即事件 {X1=x1L,Xn=xn}发生的概率为: PXEX, L, X,=x=P(X=X L P(X=x)=If(x; 0) i=1 记:L()=L(x1L,xn0)=∏f(x;0) L()称为样本的似然函数
离散情况 19 (1). { } ( ; ), = = X P X x f x 若总体 为离散型，其分布律 的形式为已知， 为待估参数。 1 1 , , , , n n 又设x x X X L L 是 的一个样本值； 1 1 , , , , 样本X X x x L L n n 取 的概率，即事件 { , , } X X 1 1 n n = = x x L ( ) ( , , ; ) ( ; ), 1 1 n n i i L L x x f x = = = L { , , } ( ) ( ) ( ; ), 1 1 1 1 1 1 n n n n i i P X x X x P X x P X x f x = = = = = L L = = 记： 发生的概率为： L()称为样本的似然函数