例 设某城市一天中发生火警的次数X服从 参数为的泊松分布,A未知,有以下样本值; 试估计参数用矩佔计法) 火警次数k 0123456 有次火警的天数n75905422621∑=250 解:=EX=A=∑X=X令EX=x,即九=X 所以,矩估计量:=X.矩估计值: (0×75+1×90+…+6×1)=122 250
例 11 设某城市一天中发生火警的次数X服从 参数为 的泊松分布， 未知，有以下样本值； 试估计参数（用矩估计法）。 1 1 1 1 n i i EX A X X n = 解： = = = = 令 EX X X = = , . 即 ˆ 所以，矩估计量： = X. 1 ˆ (0 75 1 90 6 1) 1.22 250 = = + + + = x 矩估计值： 0 1 2 3 4 5 6 75 90 54 22 6 2 1 250 k k k n = 火警次数 有 次火警的天数
例 设总体X~U[ab,a,b未知;K1,…,Xn是X 的样本,求:a,b的矩估计量 a+b 解:A=EX 2 u2=EX= DX+(EX) (b /a+6)2 12 2 令 a+b 2 n21=1X;=X (b-a)2,/a+b 2 12 2
例 12 1 , 2 a b EX + 解： = = 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 12 2 b a a b EX DX EX − + = = + = + 设总体𝑿 ∼ 𝑼[𝒂,𝒃],𝒂, 𝒃未知；𝑿𝟏,… , 𝑿𝒏是𝑿 的样本，求：𝒂, 𝒃的矩估计量 令 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝟏 𝒏 σ𝒊=𝟏 𝒏 𝑿𝒊 = 𝑿ഥ ⋯ (𝟏) 𝒃 − 𝒂 𝟐 𝟏𝟐 + 𝒂 + 𝒃 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝑿𝒊 𝟐 ⋯ (𝟐)
例 (1)代入(2,得: b-a)1 ∑X2-X2=S2 n i=1 b-a=2√3S a+b=2X 解得:a=X-√3S b=x+√3
例 13 ˆ 3 n 解得：a X S = − 2 2 2 2 1 ( ) 1 12 n i n i b a X X S n = − = − = 2 3 n − = b a S a b X + = 2 ˆ 3 n b X S = + (1) 代入 (2), 得： ˆ 3 n 解得：a X S = − ˆ 3 n b X S = +
例 设总体Y的均值,方差a2存在, 为 未知参数,设X1…,X是X的样本; 求:μ,σ2的矩估计量。 解:4=EX= 12=EX2=DX+(EX)2=a2+ 令EX=F,EX2=-∑X2 1i=1 得:=X ∑X 所以=X,G2=-∑X2-x2=-∑(X1-x)2=Sn
例 14 2 2 1 , , , n X X X X 设总体 的均值 ，方差 存在， 为 未知参数，设 是 的样本； 2 求： , 的矩估计量。 1 2 2 2 2 2 , ( ) EX EX DX EX = = = = + = + 解： 2 2 1 1 , , n i i EX X EX X n = 令 = = 2 2 2 1 1 , , n i i X X n = 得： = + = 所以 ˆ = X , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ˆ ( ) n n i i n i i X X X X S n n = = = − = − =
结论 无论总体Ⅹ服从何种分布,总体均值 EX=u,总体方差DX=G2作为未知参数, 其矩估计量一定是样本均值和样本方差, 即 众=,a2=∑(X-X
15 2 2 1 1 ˆ , ( ) ˆ n i i X X X n = = = − 无论总体X服从何种分布，总体均值 EX= μ, 总体方差DX=σ 2作为未知参数， 其矩估计量一定是样本均值和样本方差， 即： 结 论