中国科学技术大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（讲义，共六章，打印版）

随机试验：随机现象的实现和对它某个特征的观测 随机试验中要求试验的结果至少2个，每次试验或观测得到其中的一个结果，在试 验和观测之前不能预知是哪个结果发生。此外，要求在相同的条件下能重复试验。 如观测把硬币抛4次后正面向上的次数：观测某地的温度变化：某电话总机单位时间 内转接的电话次数 定义1.21，基本事件：随机试验中的每个单一结果，它犹如分子中的原子，在化学反应 中不能再分，所以有“基本”两字 如把硬币抛3次后有8种可能结果：正正正、正正反、正反正、反正正、正反反、反正 反、反反正、反反反.这8种可能结果的每一个都是基本事件 定义122.随机事件：简称事件，在随机试验中我们所关心的可能出现的各种结果，它 由一个或若千个基本事件组成， 随机事件常用大写英文字母A,B,C,D等表示.如果用语言表达，则要用花括号括起 来 定义1.2.3.样本空间：随机试验中所有基本事件所构成的集合，通常用2或S表示 例1.2.1.掷一枚骰子，观察出现的点数.则={1,2,3,4,5,6 例122.考察某一地区的年降雨量，则={0≤x<T},这里T表示某个常数，表示 降雨量不会超过T, 定义1.2.4.必然事件（但）：在试验中一定会发生的事件 不可能事件()：在试验中不可能发生的事件. 51.2.2事件的运算 可以证明，把样本空间中的基本事件与空间中的点相对应，则事件与集合相对应，因 此事件运算与集合运算可以建立一一对应关系， 1.子事件ACB:事件A发生蕴含事件B一定发生，则事件A称为事件B的子事件，记 为ACB.若ACB,且BCA,则称事件A与事件B相等，记为A=B. 2

‘ÅÁ: ‘Åy¢yÚé§,‡A*ÿ. ‘ÅÁ¥‡¦Á(J2‡§zgÁ½*ÿÙ¥‡(J§3Á Ú*ÿƒcØUý´=‡(Ju)"d §‡¦3ƒÓ^‡eU­EÁ" X*ÿrM14g￾¡•þgê; *ÿ,/§ÝCz; ,>{oÅü žm S=>{gê. ½Â 1.2.1. į‡: ‘ÅÁ¥z‡ü(J, §gX©f¥f, 3zƇA ¥ØU2©, ¤±k“Ä”üi. XrM13g￾k8«ŒU(J: !‡!‡!‡!‡‡!‡ ‡!‡‡!‡‡‡. ù8«ŒU(Jz‡Ñ´Ä¯‡. ½Â 1.2.2. ‘ů‡: {¡¯‡, 3‘ÅÁ¥·‚¤'%ŒUÑyˆ«(J, § d‡½eZ‡Ä¯‡|¤. ‘ů‡~^Œ=©i1A, B, C, DL«. XJ^ŠóLˆ, K‡^s)Ò)å 5. ½Â 1.2.3. m: ‘ÅÁ¥¤kį‡¤¤8Ü, Ï~^Ω½SL«. ~ 1.2.1. •qf, * Ñy:ê. K Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ~ 1.2.2.  ,/«cü…þ, K Ω = {x|0 ≤ x < T}, ùp T L«,‡~ê, L« ü…þج‡L T. ½Â 1.2.4. 7,¯‡(Ω): 3Á¥½¬u)¯‡; ،U¯‡(φ): 3Á¥ØŒUu)¯‡. §1.2.2 ¯‡$Ž Œ±y², rm¥Ä¯‡†m¥:ƒéA, K¯‡†8܃éA, Ï d¯‡$Ž†8Ü$ŽŒ±ïáéA'X. 1. f¯‡A ⊂ B: ¯‡Au)%¹¯‡B½u), K¯‡A¡¯‡Bf¯‡, P A ⊂ B. eA ⊂ B, …B ⊂ A, K¡¯‡A†¯‡Bƒ, PA = B. 2

9 2.事件的和(AUB)：事件A和事件B中至少有一个发生的这一事件称为事件A和事 件B的和，记为AUB. 9 3.事件的积(A∩B)：事件A和事件B同时发生这一事件称为事件A和事件B的积，记 为AnB. 如果AnB=·,则称A和B不相容，即事件A和B不能同时发生 4.对立事件A(或A):A不发生这一事件称为事件A的对立事件（或余事件） 5.事件A和事件B的差A-B:事件A发生而事件B不发生这一事件称为事件A和事件B的 差，记为A-B,或等价的，AB

2. ¯‡Ú(A ∪ B) : ¯‡AÚ¯‡B¥k‡u)ù¯‡¡¯‡AÚ¯ ‡BÚ, PA ∪ B. 3. ¯‡È(A ∩ B) : ¯‡AÚ¯‡BӞu)ù¯‡¡¯‡AÚ¯‡BÈ, P A ∩ B. XJA ∩ B = φ, K¡AÚB؃N, =¯‡AÚBØUӞu). 4. éᯇAc (½A¯): AØu)ù¯‡¡¯‡Aéᯇ(½{¯‡) . 5. ¯‡AÚ¯‡BA−B: ¯‡Au) ¯‡BØu)ù¯‡¡¯‡AÚ¯‡B , PA − B, ½d, ABc . 3

De Morgan对偶法则： AUB=AnB, AnB=AUB, 上面公式可以推广到n个事件 94=0a 04=0a $1.2.3概率的定义及性质 1.概率的定义 什么叫概率？直观地讲，概率是随机事件发生可能性大小的数字表征，其值在和1之 间，换句话说，概率是事件的函数.如何求出事件A的概率（记为P(4)? (1)古典概型：有两个条件， 第一，（有限性）试验结果只有有限个（记为）， 第二，（等可能性）每个基本事件发生的可能性相同 为计算事件A的概率，设A中包含m个基本事件，则定义事件A的概率为 P(A)=" 记号：为方便起见，以#(B)记事件B中基本事件的个数，因此 P(A)=#(4 #@ (2)概率的统计定义 古典概型的两个条件往往不能满足，此时如何定义概率？常用的一种方法是把含 有事件A的随机试验独立重复做n次(Bernouli试验)，设事件A发生了nA次，称比值一为 事件A发生的频率，当n越来越大时，频率会在某个值附近波动，且波动越来越小，这个 值p就定义为事件A的概率. 注意：为什么不能写为im一+=p?因为一不是n的函数 几个例子：英文字母被使用的频率是相当稳定的：福尔摩斯探案集第四本《跳舞的 小人》，福尔摩斯用频率破了丘比特和埃尔茜之间联络密码：1872年英国人Six,W把π算 4

De Morganéó{K: A ∪ B = A¯ ∩ B, ¯ A ∩ B = A¯ ∪ B, ¯ þ¡úªŒ±í2n‡¯‡: [n i=1 Ai = \n i=1 A¯ i \n i=1 Ai = [n i=1 A¯ i §1.2.3 VǽÂ95Ÿ 1. Vǽ ŸoVÇ? †*/ù, VÇ´‘ů‡u)ŒU5ŒêiL, ي30Ú1ƒ m, †é{`, VÇ´¯‡¼ê. Xۦѯ‡AVÇ(PP(A))? (1) ;V.: kü‡^‡, 1, (k5) Á(Jkk‡(Pn) , 1, (ŒU5) z‡Ä¯‡u)ŒU5ƒÓ. OŽ¯‡AVÇ, A¥¹m‡Ä¯‡, K½Â¯‡AVǏ P(A) = m n PÒ: B儧±#(B)P¯‡B¥Ä¯‡‡ê§Ïd§ P(A) = #(A) #(Ω) (2) VÇÚO½Â ;V.ü‡^‡ ØU÷v, džXÛ½ÂVÇ? ~^«{´r¹ k¯‡A‘ÅÁÕá­E‰ng(BernouliÁ) , ¯‡Au) nAg, ¡'ŠnA n  ¯‡Au)ªÇ, n5Œž, ªÇ¬3,‡ŠpNCÅÄ, …ÅÄ5, ù‡ Špҽ¯‡AVÇ. 5¿: ŸoØUlimn→∞ nA n = p? ϏnA n Ø´n¼ê. A‡~f: =©i1¦^ªÇ´ƒ­½; 4d&Y81o5aÍ <6, 4d^ªÇ» £'AÚD0ƒméäè; 1872c=I<Shix, W rπŽ 4

到707位，1944.5-1945.3数学家法格逊认为π的小数位的数字对0到9应该是等可能的，但核 对Shix的结果发现数字7太少，故对Six的结果有怀疑，重新计算发现前527位是正确的 后面不对了，计算机出现后，法国人让盖尤计算了π的前100万位小数，发现各个数字出 现的频率相同. (3)主观概率 关于概率的统计定义，我们可能会想到，如果试验不能在相同的条件下独立重复很 多次时该怎么办？还有人们常谈论种种事件出现机会的大小，如某人有80%的可能性办 成某事.如某人有80%的可能性办成某事另一人则认为仅有0%的可能性.即我们常常 会拿一个数字去估计这类事件发生的可能性，而心目中并不把它与频率挂钩.这种概率 称为主观概率，这类概率有相当的生活基础。在金融和管理等方面有大量的应用，这 学派称为Bayes学派，近来得到越来越多的认可.但是当前用频率来定义概率的频率派 仍是数理统计的主流。焦点是频率派认为概率是客观存在，不可能因人而异。 (④概率的公理化定义：对概率运算规定一些简单的基本法则， ()设A是随机事件，则0≤P(A)≤1， ()设n为必然事件，则P)=1, ()若事件A和B不相容，则P(AUB)=P(A)+P(B) 为了对可数无穷个事件仍能成立，我们要把上面公式中的两个事件推广到可数无穷个两 两不相容的事件序列 AP(A) 2.古典概率计算的几个例子 计算古典概率，主要用到排列组合的知识 复习选排列，重复排列和组合公式有关知识 例1.2.3.一个班有r个人，不计2月29日出生的（即假定一年为365天），问至少有两人同 一天生日的概率是多少？ 要点：（）本问题中的样本空间是什么？（②）重复排列，（③）先计算余事件 例1.24.金中有32只红球，4只白球，从中任摸2球，求两球中至少有一个白球的概率。 要点：(1)样本空间可以考虑为所有可能的组合，也可以考虑为所有可能的选排列 5

707 , 1944.5-1945.3êÆ[{‚Ö@πê êié09AT´ŒU, Ø éShix(Juyêi7, éShix(Jk~¦, ­#OŽuyc527 ´(, ￾¡Øé . OŽÅÑy￾, {I<4.XcOŽ πc100 ê, uyˆ‡êiÑ yªÇƒÓ. (3) Ì*VÇ 'uVÇÚO½Â, ·‚ŒU¬Ž, XJÁØU3ƒÓ^‡eÕá­Eé õgžTNo? „k<‚~!Ø««¯‡ÑyŬŒ, X,<k80%ŒU5 ¤,¯. X,<k80%ŒU5¤,¯.,<K@=k50%ŒU5. =·‚~~ ¬<‡êiOùa¯‡u)ŒU5, %8¥¿Ør§†ªÇ!. ù«VÇ ¡Ì*VÇ, ùaVÇkƒ)¹Ä:. 37KÚ+n¡kŒþA^, ù Æ￾¡Bayes Æ￾, C55õ@Œ. ´c^ªÇ5½ÂVǪÇ￾ E´ênÚOÌ6. ￾:´ªÇ￾@VÇ´*3§ØŒUÏ< É. (4) VÇúnz½Â: éVÇ$Ž5½ {üÄ{K, (i) A ´‘ů‡, K0 ≤ P(A) ≤ 1, (ii) ُ7,¯‡, KP(Ω) = 1, (iii) e¯‡AÚB؃N, KP(A ∪ B) = P(A) + P(B),  éŒêᇯ‡EU¤á, ·‚‡rþ¡úª¥ü‡¯‡í2Œêá‡ü ü؃N¯‡S P( [∞ i=1 Ai) = X∞ i=1 P(Ai) 2. ;VÇOŽA‡~f OŽ;VÇ, ̇^ü|Ü£. ESÀü, ­EüÚ|Üúªk'£. ~ 1.2.3. ‡kr‡<, ØO229FÑ)(=b½c365U) , ¯kü<Ó U)FVÇ´õ? ‡:: (1) ¯K¥m´Ÿo? (2) ­Eü, (3) kOŽ{¯‡ ~ 1.2.4. Ý¥k32ù¥, 4x¥, l¥?¹2¥, ¦ü¥¥k‡x¥VÇ. ‡:: (1) mŒ±ď¤kŒU|Ü, Œ±ď¤kŒUÀü, 5

有些问题中只能考虑其中之一，具体问题具体分析 (②)本题可以直接计算随机事件的概率，也可以先计算对应的余事件的概率，然后得 到所需事件的概率 51.2.4条件概率 1.条件概率的定义 一般讲，条件概率就是在知道了一定的信息下所得到的随机事件的概率.如两个 工厂A和B生产同一品牌的电视机，商场中该品牌有个统一的次品率，比如0.5%，如果你 从某个途径知道该商场的这批电视机是A厂生产的，则你买到的电视机的次品率不再 是0.5%，而应该比0.5%要小，这个概率就是条件概率，即你在知道了这批电视机是A厂生 产的附加条件下的概率就是条件概率」 保险中应用的存活人数死亡率也是条件概率 定义1.2.5.设事件A和B是随机试验中的两个事件，P(B)>0,称 P(AIB)-P(AD) P(B) 为事件B发生条件下事件A发生的条件概率. 注1.2.1.P(A)和P(AB)是不同的两个概率.如图，设矩形A的面积为1，则PA)表示A的 面积，而P(AB)表示在B中，A所占的比例，即AB这块面积在B中所占的比例 也可以从概率的统计定义，即用频率来近似概率这一角度来理解条件概率.设在次 独立试验中，事件A发生了nA次，事件B发生了nB次，事件AB发生了nAB次，事件B发生 下事件A发生的频率为

k ¯K¥UÄÙ¥ƒ, äN¯KäN©Û, (2) KŒ±†OŽ‘ů‡VÇ, Œ±kOŽéA{¯‡VÇ, ,￾ ¤I¯‡VÇ. §1.2.4 ^‡VÇ 1. ^‡Vǽ „ù, ^‡VÇÒ´3 ½&Ee¤‘ů‡VÇ. Xü‡ ó‚AÚB)Ó¬ý>ÀÅ, û|¥T¬ýk‡Úg¬Ç, 'X0.5%, XJ\ l,‡å»Tû|ù1>ÀÅ´A‚), K\ï>ÀÅg¬ÇØ2 ´0.5%, AT'0.5%‡, ù‡VÇÒ´^‡VÇ, =\3 ù1>ÀÅ´A‚) N\^‡eVÇÒ´^‡VÇ. x¥A^¹<êkǏ´^‡VÇ. ½Â 1.2.5. ¯‡AÚB´‘ÅÁΩ ¥ü‡¯‡, P(B) > 0 , ¡ P(A|B) = P(AB) P(B) ¯‡Bu)^‡e¯‡Au)^‡VÇ. 5 1.2.1. P(A)ÚP(A|B) ´ØÓü‡VÇ. Xã, Ý/A¡È1, KP(A)L«A ¡È, P(A|B)L«3B¥, A¤Ó'~, =ABù¬¡È3B¥¤Ó'~. Œ±lVÇÚO½Â, =^ªÇ5CqVÇùÝ5n)^‡VÇ. 3ng ÕáÁ¥, ¯‡Au) nAg, ¯‡Bu) nBg, ¯‡ABu) nABg, ¯‡Bu) e¯‡Au)ªÇ nAB nB ≈ P(AB) P(B) 6