7、行列式按行(列)展开 1)余子式与代数余子式 在n阶行列式中,把元素n所在的第行和第 j列划去后,留下来的n-阶行列式叫做元素n 的余子式,记作Mn;记 Av=(-1) M A叫做元素an的代数余子式 上页
１）余子式与代数余子式 . ( 1) , 1 叫做元素 的代数余子式 的余子式，记作 ； 记 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 A a A M M j n a n a i ij ij ij i j ij ij ij ij = − − + ７、行列式按行（列）展开
上2)关于代数余子式的重要性质 「D,当=j; ∑akAk=DSn= =1 0,当≠ 或 D,当=j ∑akA=D80,当≠j =1 其中δ 当i=; 0,当≠ 上页
２）关于代数余子式的重要性质 = = = = = = = = = = 0, . 1, ; 0, . , ; 0, . , ; 1 1 i j i j i j D i j a A D i j D i j a A D ij jk ij n k ik k i ij n k k i 当 当 其中 当 当 或 当 当
8、克拉默法则 auxitaux,t +aux,=bu, 如果线性方程剑a2x1+a2x2+…+a12xn=b, ∴… anxi+amx+.tax=b, 的系数行列式D≠0那么它有惟一解 D x=D,=,2,,n 其中D(=1,2,…,n)是把系数行列式D中第列 换成常数功,bb所得到的行列式 上页
８、克拉默法则 , . 1,2, , , 1,2, , . 0, . , , 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 换成常数项 ， 所得到的行列式 其 中 （ ）是把系数行列式 中 第 列 的系数行列式 那么它有惟一解 如果线性方程组 b b２ b x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n j j j n n nn n n n n n n D j n D j j n D D D = = = + + + = + + + = + + + =
克拉默法则的理论价值 定理如果线性方程组 auxitanx2+.+aux =bs alita 2X2+…+a2nxn=b2, ∴…∴∴. amxitamx,+.tax=b, 的系数行列式≠0,那么它一定有解,且解 定理如果上述线性方程组无解或有两个不同的 解,则它的系数行列式必为零 上页
克拉默法则的理论价值 0, . . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 的系数行列式 那么它一定有解，且解惟 一 如果线性方程组 + + + = + + + = + + + = D a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n nn n n n n n n . 解，则它的系数行列式必为零 定理 如果上述线性方程组无解或有两个不同的 定理
定理如果齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 21x1+a22x2+…+a2mxn=0, ∴………… n1x1+an2x2+…+a n 0 庄的系数行列式D≠0那么它没有非零解 牛定理如果上述齐次线性方程组有非零解,则 它的系数行列式必为零. 上页
0, . 0. 0, 0, 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 的系数行列式 那么它没有非零解 如果齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = D a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n nn n n n n n . 它的系数行列式必为零 如果上述齐次线性方程组有非零解，则 定理 定理