这样,上述定理一又可叙述为: 定理一设随机变量X1X2,Ym,相互独立,且 具有相同的数学期望和方差:E(X= D(X=a2(k=1,2,),则序列 X依概率收敛于,即X >
12 这样, 上述定理一又可叙述为: 定理一 设随机变量X1 ,X2 ,...,Xn ,...相互独立, 且 具有相同的数学期望和方差: E(Xk )=m, D(Xk )=s2 (k=1,2,...), 则序列 , . 1 1 = m ⎯→m = P n k Xk X n X 依概率收敛于 即
定理二(伯努利大数定理)设nA是m次独立重复 试验中事件A发生的次数p是事件A在每次试 验中发生的概率,则对于任意正数≥>0,有 imP-p<6}=1 (12 n→0 或 lim p hD|>E}=0 (1.3) n→>
13 定理二(伯努利大数定理) 设nA是n次独立重复 试验中事件A发生的次数. p是事件A在每次试 验中发生的概率, 则对于任意正数>0, 有 lim = 1 (1.2) − → p n n P A n 或 lim = 0 (1.3) − → p n n P A n
证因为nAb(n2p),由第四章§2例6,有 n4=X1+X2+∴+X, 其中,X1,X2…Xn相互独立,且都服从以为参 数的(0-1)分布因而E(X)=p,D(X=p(1-p) (k=1,2,,n),由11)式即得 iP(X1+X2+…+Xn)-p<E}=1, n→0 即imP n→)0 nP<E}=1
14 证 因为nA~b(n,p), 由第四章§2例6, 有 nA=X1+X2+...+Xn , 其中, X1 ,X2 ,...,Xn相互独立, 且都服从以p为参 数的(0-1)分布. 因而E(Xk )=p, D(Xk )=p(1−p) (k=1,2,...,n), 由(1.1)式即得 lim 1. ( ) 1, 1 lim 1 2 = − = + + + − → → p n n P X X X p n P A n n n 即
伯努利大数定理表明軿发生的频率“4依概 率收敛于事件的概率n这个定理以严格的数 学形式表达了频率的稳定性就是说n很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性 很小.由实际推断原理,在实际应用中,当试验 次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替 事件的概率
15 率收敛于事件的概率p. 这个定理以严格的数 学形式表达了频率的稳定性. 就是说n很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性 很小. 由实际推断原理, 在实际应用中, 当试验 次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替 事件的概率. 伯努利大数定理表明事件发生的频率 依 概 n nA