第十一节欧拉方程 欧拉方程 二、小结
第十一节 欧拉方程 ◼ 一、欧拉方程 ◼ 二、小结
形如欧拉方程 x"y!+p1x"y(m)+…+pn;xy'+pny=∫(x) 的方程(其中P1,P2P为常数)叫欧拉方程 特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同 解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变 量代换可化为常系数微分方程
解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程. 一、欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y pn xy pn y f x n n n n + + + − + = − − 的方程(其中 p1 p2 pn , 形如 为常数) 叫欧拉方程. 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同．
作变量变换x=e或t=lnx, 将自变量换为t, dy dy dt 1 dj dt dx x d 小y dx x dt dt d J 3-+2 小y dx x dt
作变量变换 x e t ln x, t = 或 = , 1 dt dy dx x dt dt dy dx dy = = , 1 2 2 2 2 2 = − dt dy dt d y dx x d y 将自变量换为 t, 3 2 , 1 2 2 3 3 3 3 3 = − + dt dy dt d y dt d y dx x d y
用D表示对自变量t求导的运算 dt 上述结果可以写为 D x'y dt2 d =(D2-D)y=D(D-1)y, 3 dt =(D-3D2+2D)=D(D-1)(D-2)y, ●·●●4
用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt d 上述结果可以写为 xy = Dy, ( ) ( 1) , 2 2 2 2 D D y D D y dt dy dt d y x y = − = − = − ( 3 2 ) ( 1)( 2) , 3 2 3 2 2 2 3 3 3 D D D y D D D y dt dy dt d y dt d y x y = − + = − − = − +
般地,xy=D(D-1)(D-k+1)y 将上式代入欧拉方程,则化为以t为自变量 的常系数线性微分方程求出这个方程的解后, 把t换为Inx,即得到原方程的解 例求欧拉方程 x3y"+x2y"-4xy=3x2的通解 解作变量变换x=e或t=lnx
( 1) ( 1) . ( ) x y D D D k y k k = − − + 将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量 的常系数线性微分方程. 求出这个方程的解后， 把 t 换为 ln x ，即得到原方程的解. 一般地， 例 求欧拉方程 3 2 2 x y + x y − 4xy = 3x 的通解． 解 作变量变换 x e t ln x, t = 或 =