第十 微分方程的幂级数解法 一、问题的提出 f(x,y)特解的求法 三、阶齐次线性方程幂级数求法
第十二节 微分方程的幂级数解法 ◼ 一、问题的提出 ◼ 二、 特解的求法 ◼ 三、二阶齐次线性方程幂级数求法 ◼ 四、小结 ( , ) dy f x y dx =
问题的提出 例如 r t y 解不能用初等函数或其积分式表达 寻求近似解法:幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法
一、问题的提出 , 2 2 x y dx dy 例如 = + 解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 数值解法. 卡比逐次逼近法;
二dx f(x,y)特解求法 问题求=f(x,y满足y=n=y的特解 其中f(x,y)=am+an(x-x)+an(y-yn) +…+am1(x-x0)(jy-y) 嗌熔创山爸士婵一晝涵剩 y=yo+a,(x-xo)+a2(x-xo)+ 其中a1,an2…,an,…为待定的系数
二、 f ( x, y ) 特解求法 dx dy = 问题 ( , ) . 求 f x y 满足 y 0 y0 的特解 dx dy = x= x = ( ) ( ) . ( , ) ( ) ( ) 0 0 00 10 0 01 0 l m l m a x x y y f x y a a x x a y y + + − − = + − + − 其中 , 假设所求特解可展开为 x − x0的幂级数 y = y0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + , , , , . 其中a1 a2 an 为待定的系数
例1求 y x+y2满足yl=0的特解 解 设y=a1x+a2x2+a3x3+…+anx"+…, y=a1+2a2x+303x2+…+nanx+…, 将y,y的幂级数展开式带入原方程 a1+2a2x+33x2+44xC°+ =X+(1x+a2x2+a3x+a4x4+
| 0 . 0 求 = x + y 2 满足y x= = 的特解 dx dy 解 x 0 = 0 ， 0 , y 0 = , 3 3 2 设 y = a1 x + a2 x + a x ++ an x n + 将 y, y的幂级数展开式带入原方程 a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 +4 2 4 3 3 2 1 2 = x + (a x + a x + a x + a x +) 2 3 , 2 1 3 1 y = a1 + a2 x + a x ++ nan xn− + 例 1
=x+a1x2+2u142x3+(a2+2a1a3)x+… 比较恒等式两端x的同次幂的系数,得 0 =0,a4=0, 2 20 所求解为y=2x2+20x2+ 小结:无初始条件求解 可设p=C+∑anx”(C是任意常数)
, , 20 1 , 0, 0, 2 1 0, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = . 20 1 2 所求解为 y = 1 x 2 + x 5 + = x + a1 2 x 2 + 2a1 a2 x 3 + (a2 2 + 2a1 a3 )x 4 + 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得 小结: 无初始条件求解 = = + n 1 n 可设 y C an x (C是任意常数)