西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（PPT课件）级数与微分方程（微分方程）第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程

第干节三阶常系数菲齐次 线性微分方程 f(x)=eP(x)型 二f(x)=e(P(x) cost+P(x) )sin oe)型

第十节 二阶常系数非齐次 线性微分方程 ◼ 一、 型 ◼ 二、 型 ◼ 三、小结 ( ) ( ) x m f x e P x  = ( ) ( ( ) cos ( ) sin ) x l n f x e P x P x  = +  

f(x)=eP(x)型 y"+py+qy=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py+qy=0, 通解结构y=Y+y, 常见类型Pn(x),Pn(x)ex, Pn ()e cos x, Pm ()e sin Br, 难点:如何求特解?方法:待定系数法

y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. f (x) e P (x) m x 一、 = 型

设非齐方程特解为y=Q(x)代入原方程 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p元+q)Q(x)=Pn(x) (1)若不是特征方程的根,x2+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x),y=Qn(x)e (2)若是特征方程的单根, 2+p4+q=0,2+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=xQn(x)e;

设非齐方程特解为 x y Q x e  = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2  + p + q  Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若是特征方程的单根， 0, 2  + p + q = 2 + p  0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ; x m y Q x e  = ( ) ; x m y xQ x e  =

(3)若是特征方程的重根, 22+p2+q=0,24+p=0, 可设Q(x)=x2Qn(x),y=x2Qn(x)ex 综上讨论 0不是根 设y= xe" omc(x),k={1是单根 2λ是重根 注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数)

(3) 若是特征方程的重根， 0, 2  + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 可设Q x = x Qm x 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设 =         = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）. ( ) . 2 x m y x Q x e  =

特别地y"+py2+y=Ae ex,λ不是特征方程的根 2+pλ+q xe是特征方程的单根 2元+p 是特征方程的重根

特别地 x y py qy Ae  +  + =          + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根          x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2