2、函数线性无关和相关定义在a≤t<b上的函数x(t),x（t).x（t)，如果存在不全为零的常数CC,…,Ck使得恒等式cx,(t)+c2x,(t)+..+c,x(t)=0对所有te[a,b成立，称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。如在区间（-80+80）上线性无关cosx,sin x在区间（-80,+）上线性相关cosx,sinx,11 t, t,..,t"在区间（-0,+）上线性无关要使得Co+ct+c,t2+..+c,t"=0te(-0,+0)Co=C=C2=..·=C,=0则A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 11 2 、函数线性无关和相关 定义在 a t b ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t 上的函数 k ，如果存在 k c ,c , ,c 不全为零的常数 1 2 使得恒等式 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ ck xk (t) 0 对所有 t a,b 成立， 称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。 如 cos x, sin x 在区间 (−, +) 上线性无关 cos , 2 x sin , 1 2 x 在区间 (−, +) 上线性相关 n 1, t, t , , t 2 在区间 (−, +) 上线性无关 c + c t + c t + + c t t (−,+) n n 0 2 要使得 0 1 2 则 c0 = c1 = c2 == cn = 0
3（伏）朗斯基（Wronsky）行列式定义2定义在[a,b]上k个可微k-1次函数x;(),x2(1).…,x(t)所作成的行列式x(t)x,(t)x,(t)·.xi(t)x2(t)xi(t).W[x(t),x(t)..",x,(t)二[x(k- (0).x(k- (0)x(k-1(0)称为函数x,(t),x,(t),,x,(t)的(伏)朗斯基(Wronsky)行列式，也写作W(t)A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义2 3 (伏)朗斯基(Wronsky)行列式 所作成的行列式 定义在 上 个可微 次函数 ( ) [ , ] 1 ( ), ( ) , 1 2 x t a b k k x t x t k − W[x1 (t), x2 (t) , xk (t)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 ' ' 2 ' 1 1 2 x t x t x t x t x t x t x t x t x t k k k k k k − − − , ( ). ( ), ( ), , ( ) ( ) ( ) 1 2 W t x t x t x t Wronsky k 行列式 也写作 称为函数 的 伏 朗斯基
4函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系若函数x(t),x（t),x(t)在区间a≤t≤b上线(1）定理3性相关，则在[a,bl上它们Wronsky的行列式Wt）=0证明:由假设可知,存在一组不全为零的常数c,C2,Cn,使得cx(t)+cx2(t)+...+c,x,(t)=0,te[a,b]依次将此恒等式对微分.得到n个恒等式A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 4 函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系 (1)定理3 , [ , ] ( ) 0. ( ), ( ) , ( ) 1 2 a b Wronsky W t x t x t xn t a t b 性相关 则在 上它们 的行列式 若函数 在区间 上线 证明: , , , , 1 2 n 由假设可知 存在一组不全为零的常数c c c 使得 ( ) ( ) ( ) 0, [ , ] c1 x1 t + c2 x2 t ++ cn xn t t a b 依次将此恒等式对t微分,得到n个恒等式
Cx(t)+cx(t)+...+c,x,(t)=0cx(t)+c,x(t)+...+c,x(t)=0cx(t)+cx(t)+...+c,x,(t)=0Cx(n-(t)+cx/n-"(t)+.+c,x(n-l(t) = O上述方程组是关于c，C2，…c,的齐次方程组，它的系数就是Wronsky的行列式，由线性代数理论知要使齐线性方程组存在非零解，则它的系数行列式必为零即W(t)=0,te[a,b]A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院F结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ) ( ) 0 ' ' 2 2 ' c1 x1 t + c x t ++ cn xn t c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ cn xn (t) 0 ( ) ( ) ( ) 0 '' '' 2 2 '' c1 x1 t + c x t ++ cn xn t ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) ( 1) 2 2 ( 1) 1 1 + + + − − − c x t c x t c x t n n n n n , , , 上述方程组是关于c1 c2 cn 的齐次方程组 它的系数就是Wronsky的行列式, 由线性代数理论知 要使齐线性方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零, 即W(t) 0, t [a,b]
注定理3的逆不成立，t,t≥0[0,t≥0如函数x(t)=x2(t)=0,t<0t,t<0显然对所有都有t0事实上，若有恒等式0.t≥0三2t0则cx(t)+cx(t)=0W(t) =t20t≥0时推得c2=00,t<002tt<0时推得c,=0但x(),x(t)在区间(-00,+0)上是线性无关的A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 注 定理3的逆不成立. 如函数 , 0, 0 , 0 ( ) 2 1 = t t t x t , , 0 0, 0 ( ) 2 2 = t t t x t 显然,对所有t都有 W (t) = t t 0 2 0 2 = 2 0 0 2 t t 0, 0, t 0 t 0 ( ), ( ) ( , ) . 但x1 t x2 t 在区间 − + 上是线性无关的 c1 x1 (t) +c2 x2 (t) = 0 0 0, t 时推得c2 = 0 0, t 时推得c1 = 事实上,若有恒等式 则