《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 11 2 、函数线性无关和相关 定义在 a t b ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t 上的函数 k ，如果存在 k c ,c , ,c 不全为零的常数 1 2 使得恒等式 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ ck xk (t) 0 对所有 t a,b 成立， 称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。 如 cos x, sin x 在区间 (−, +) 上线性无关 cos , 2 x sin , 1 2 x 在区间 (−, +) 上线性相关 n 1, t, t , , t 2 在区间 (−, +) 上线性无关 c + c t + c t + + c t t (−,+) n n 0 2 要使得 0 1 2 则 c0 = c1 = c2 == cn = 0
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义2 3 (伏)朗斯基(Wronsky)行列式 所作成的行列式 定义在 上 个可微 次函数 ( ) [ , ] 1 ( ), ( ) , 1 2 x t a b k k x t x t k − W[x1 (t), x2 (t) , xk (t)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 ' ' 2 ' 1 1 2 x t x t x t x t x t x t x t x t x t k k k k k k − − − , ( ). ( ), ( ), , ( ) ( ) ( ) 1 2 W t x t x t x t Wronsky k 行列式 也写作 称为函数 的 伏 朗斯基
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 4 函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系 (1)定理3 , [ , ] ( ) 0. ( ), ( ) , ( ) 1 2 a b Wronsky W t x t x t xn t a t b 性相关 则在 上它们 的行列式 若函数 在区间 上线 证明: , , , , 1 2 n 由假设可知 存在一组不全为零的常数c c c 使得 ( ) ( ) ( ) 0, [ , ] c1 x1 t + c2 x2 t ++ cn xn t t a b 依次将此恒等式对t微分,得到n个恒等式
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ) ( ) 0 ' ' 2 2 ' c1 x1 t + c x t ++ cn xn t c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ cn xn (t) 0 ( ) ( ) ( ) 0 '' '' 2 2 '' c1 x1 t + c x t ++ cn xn t ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) ( 1) 2 2 ( 1) 1 1 + + + − − − c x t c x t c x t n n n n n , , , 上述方程组是关于c1 c2 cn 的齐次方程组 它的系数就是Wronsky的行列式, 由线性代数理论知 要使齐线性方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零, 即W(t) 0, t [a,b]
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 注 定理3的逆不成立. 如函数 , 0, 0 , 0 ( ) 2 1 = t t t x t , , 0 0, 0 ( ) 2 2 = t t t x t 显然,对所有t都有 W (t) = t t 0 2 0 2 = 2 0 0 2 t t 0, 0, t 0 t 0 ( ), ( ) ( , ) . 但x1 t x2 t 在区间 − + 上是线性无关的 c1 x1 (t) +c2 x2 (t) = 0 0 0, t 时推得c2 = 0 0, t 时推得c1 = 事实上,若有恒等式 则