若函数组x(t)x(t),x(t)的Wronsky行列式推论在区间ab]上某点t.处不等于零即W(t）+0,则该函数组在[a,bl上线性无关(2）定理4如果方程（4.2)的解x(t),x(t),x(t)在区间a≤t<b上线性无关，则它们Wronsky的行列式在[a,b]上任何点都不等于零，即W（t）+0a≤t≤b）证明：：“反证"设有某个te[a,b],使W(t)=0考虑关于c,，…c,的齐次方程组A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 推论 [ , ] . [ , ] , ( ) 0, ( ), ( ) , ( ) 0 0 1 2 数组在 上线性无关 在区间 上某点 处不等于零 即 则该函 若函数组 的 行列式 a b a b t W t x t x t x t Wronsky n (2)定理4 , ( ) 0( ) , [ , ] (4.2) ( ), ( ) , ( ) 1 2 W t a t b a t b Wronsky a b x t x t x t n 上任何点都不等于零 即 上线性无关 则它们 的行列式在 如果方程 的解 在区间 证明: “反证” [ , ], ( ) 0, 设有某个t 0 a b 使W t 0 = , , , 考虑关于c1 c2 cn 的齐次方程组
Cjxi(to)+Cax2(to)+...+cnx,(to)=0Cixi(to)+c,x2(to)+...+c,x,(to)=0cxi(to)+c2x(to)+...+c,x,(to)=0Cjx(n-'(to)+c2xin-(to)+...+c,x(n-(to)= 0其系数行列式为W(to)=0,故它有非零解c,C2,.cn现以这组常数构造函数x(t)=cx(t)+c,x,(t)+...+c,x,(t),te[a,b)由定理2知，x(t)是方程(4.2)的解又因为A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ) ( 0 ) 0 ' 0 ' 0 2 2 ' c1 x1 t + c x t ++ cn xn t = c1 x1 (t 0 ) + c2 x2 (t 0 ) ++ cn xn (t 0 ) = 0 ( ) ( ) ( 0 ) 0 '' 0 '' 0 2 2 '' c1 x1 t + c x t ++ cn xn t = ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( 1) 0 ( 1) 0 2 2 ( 1) 1 1 + + + = − − − c x t c x t c x t n n n n n , , , 1 2 n 其系数行列式为 故它有非零解c c c 现以这组常数构造函数, x(t)是方程(4.2)的解, W(t 0 ) = 0, ( ) ( ) ( ) ( ), [ , ] x t = c1 x1 t + c2 x2 t ++ cn xn t t a b 由定理2知, 又因为