2解的存唯一性定理定理1如果a（t)i=1,2,...n）及f(t）都是区间a≤tb的连续函数，则对任t[a,b]及任意xox"…,n，方程（4.1)存在唯一解x=(t),定义于区间a≤t<≤b,且满足初始条件d(n-lp(to)dp(to)x(n-1)p(to)=Xo,dtn-idtA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 解的存唯一性定理 定理1 足初始条件 程 存在唯一解 定义于区间 且满 连续函数 则对任一 及任意 方 如果 及 都是区间 的 (4.1) ( ), , , [ , ] , , , , ( )( 1,2, ) ( ) ( ) 0 (1) 0 0 x t a t b t a b x x x a t i n f t a t b n i = = ( 1) 1 0 0 ( 1) (1) 0 0 0 0 ( ) , , ( ) ( ) , − − − = = = n n n x dt d t x dt d t t x
二、齐线性方程的解的性质和结构先讨论n阶齐线性方程dn-lxd"x+a,(t)(4.2)...+a,(t)x=0一din-1dtn的般理论假设a（t)(i=1,2,..n)在a≤t<b上连续1叠加原理如果x(t),xz(t).,x(t)是方程(4.2)的k个解,则它定理2们的线性组合cx（t)+cx（t)++cx（t）也是方程（4.2）的解,这里ci,C2,…C,是任常数A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束-一市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二、齐线性方程的解的性质和结构 先讨论n阶齐线性方程 ( ) ( ) 0 (4.2) 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n 的一般理论,假设a (t)(i 1,2, n)在a t b上连续. i = 定理2 , , , . ( ) ( ) ( ) (4.2) ( ), ( ) , ( ) (4.2) , 1 2 1 1 2 2 1 2 的解 这里 是任常数 们的线性组合 也是方程 如果 是方程 的 个解 则它 k k k k c c c c x t c x t c x t x t x t x t k + + + 1 叠加原理
证明：由于x(t)(i=1,2,...k)是方程(4.2)的k个解故有d"x,(t)dn-'x,(t)+...+a,(t)x,(t)=0+a,(t)dtn-1dtni=1,2,...k上面的k个等式中第个乘c，然后相加得dn-lxd"x+a,(t)...+a(t)x=0dtn-1dtn这里x(t)=Cx(t)+cx(t)+...+Cix(t)故cx(t)+cx(t)+.….+Cx(t)是方程(4.2)的解。二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明: 由于xi (t)(i =1,2, k)是方程(4.2)的k个解 故有 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 + 1 + + = − − a t x t dt d x t a t dt d x t n n i i n n i n i =1,2, k 上面的k个等式中,第i个乘ci ,然后相加得 ( ) ( ) 0 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x t c x t c x t c x t 这里 = + ++ k k 故c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ ck xk (t)是方程(4.2)的解
问题：当k=n时，若x(t),xz(t),,x,(t）是齐线性方程的解，x=cx(t)+cx,(t)+..+c,x,(t)能否成为方程（4.2）的通解？不一定y2=5coswx如在上例中y=COSWXy=Ccoswx+C5coswx不包含解y=C,sinwx要使x=cx(t)+cx(t)+.+cx(t）为方程（4.2）的通解x(t)x(t),x,(t)还需满足一定的条件。?教学课件《常微分方程》广东第二师范学院结束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 9 问题： k = n 时，若 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t = + ++ n n 能否成为方程（4.2）的通解？ y coswx 1 = y 5coswx 2 = y C coswx C 5coswx = 1 + 2 不一定 不包含解 y C sin wx = 2 要使 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t = + ++ n n 为方程（4.2）的通解 x (t), x (t), , x (t) 1 2 n 还需满足一定的条件。? 当 x (t), x (t), , x (t) 1 2 n 是齐线性方程的解， 如在上例中
例1验证sint,cost,p(t)=c,sint+C,cost是方程X+x=0的解解：分别将sint, cost,p(t)代入方程有(sint)"+sint =0(cost)"+cost=0p (t)+p(t) =(c, sin t+C, cost)+(c, sin t +C, cost)= c,[(sint)"+ sint] +C2[(cost)"+ cost]=0《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页上市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 例1 验证sint, cost,(t) = c1 sin t +c2 cost是方程 x 0 " + x = 的解. 解: 分别将sint, cost,(t)代入方程有 (sint) sint 0 " + = ( ) + (t) = " t (cost) cost 0 " + = [(sint) sint] " = c1 + [(cost) cost] " + c2 + = 0 " 1 2 (c sin t + c cost) (c sin cos ) 1 2 + t +c t