例2正螺面 解取螺旋轴为z轴，以V表示 (x,y,) 0 直线与x轴的交角，以u表示 直线上的点M到z轴的距离，则有 x=ucosv,y=usinv,z=av 分别关于u和v求导得 x=cosv,yi =sin v,=0, x,=-usinv,y=ucosv,Z,a. 因此 E=1,F=0,G=2+a2, I=ds2=d2+(2+a2)dh2
例2 正螺面 x u v y u v z av = = = cos , sin , x y z O x y z v u •( , , ) x y z x y z 解 取螺旋轴为z轴，以v表示 O 直线与x轴的交角，以u表示 直线上的点M到z轴的距离，则有 2 2 2 2 2 = = + + ds du u a dv ( ) 分别关于u和v求导得 cos , sin , 0, u u u x v y v z = = = sin , cos , . v v v x u v y u v z a = − = = 因此 2 2 E F G u a = = = + 1, 0,
2.2.2曲面上两方向的交角 L.把两个向量dr=r,du+r,dv和=ru+r,间的交角 称为方向(du:d)和(：)间的交角 2.设两方向的交角为0，则由 dhr.or=ldhrδircos@ 得 dr.6r cos0= arllδr dr=r du+r,dv,or=r ou+r.ov _(Cdu+rcw):(6u+rδv)） Vdr2 v8r2 Eduδu+F(duov+δudv)+Gdvv Edu2+2Fdudy Gdy?ESu2+2FSuSy +GSv2
2.2.2 曲面上两方向的交角 1. 把两个向 量 和 间的交角 称为方向（ ）和（ ）间的交角. dr r du r dv = u + v r r u r v = u + v du : dv u :v 2. 设两方向的交角为 ，则由 cos dr r dr r = 2 2 ( ) ( ) u v u v r du r dv r u r v dr r + + = 2 2 2 2 ( ) 2 2 Edu u F du v udv Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v + + + = + + + + , u v u v dr r du r dv r r u r v = + = + dr r dr r = cos 得
dr.δr EduSu+F(duv +Sudy)+Gdvov cos0= ldr or Edu+2Fdudy+Gdv2ESu2+2FSuy +GSv? 3.特别 (1)》 (d)⊥（δ）→EduSu-+F(du6v+mudh)+Gdvv=O (2)对于坐标曲线的交角，有 dr=rdu,or=r.Ov cos0= dr.ornr F ldroVEG 故坐标曲线正交的充要条件为F=0
3. 特别 cos dr r dr r = 2 2 2 2 ( ) 2 2 Edu u F du v udv Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v + + + = + + + + （2）对于坐标曲线的交角，有 （1） ( ) ( ) d ⊥ Edu u F du v udv Gdv v + + + = ( ) 0 EG F r r r r dr r dr r u v u v = = = cos 故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 . , u v dr r du r r v = =
例3证明旋转面卞={p(t)cosO,o(t)sin0,yw(t)}的坐标网是 正交的. 证 =o(t)cose,o(t)sine,w(t); o ={-o(t)sine,o(t)cose,0), =o'(t)cose,o(t)sine,w'(t)) 由此得到 F=%i=0 即坐标网为正交的， 同理可证圆柱面、球面、正螺面的坐标网都为正交的
例3 证明旋转面 的坐标网是 正交的. 证 0 F r r = = t 由此得到 r t t t ={ ( )cos , ( )sin , ( )} r t t t ={ ( )cos , ( )sin , ( )} r t t { ( )sin , ( )cos ,0}, = − { '( )cos , '( )sin , '( )} t r t t t = 即坐标网为正交的. 同理可证圆柱面、球面、正螺面的坐标网都为正交的