(二)二项分布(binomial probability distribution) 设无限总体不合格品率为p（合格品率q=1一p)。对其作随机 抽样，样本容量为。样本中不合格品数X为一离散型随机变量，服 从二项分布，其恰为d的概率 P(x=d)=Capd(1-p)"-d 其中，d=0,1,2,.,n。 数学期望和方差分别为EX=pDX=p(I-p) 例2某种型号电子元件当其寿命超过3000小时时为合格品。已知 某一大批该产品的合格品率为0.2。现从中随机地抽查20只，求20 只元件中恰有d只为合格品的概率。 解本例属破坏性检验，当然是不放回抽样，但由于该批元件总数 很大，抽样数量又很少，对总体的影响是微不足道的，故可作为无 限总体放回抽样处理。因此，抽查的20只元件中的合格品数X可看 作是二项分布随机变量，其恰为d的概率 P(x=d)=C(0.2)(0.8)20-d d=0,1,2,.,20
(二)二项分布（binomial probability distribution） 设无限总体不合格品率为p（合格品率q＝1－p）。对其作随机 抽样，样本容量为n。样本中不合格品数X为一离散型随机变量，服 从二项分布，其恰为d的概率 其中，d＝0,1,2,.,n。 数学期望和方差分别为 例2 某种型号电子元件当其寿命超过3000小时时为合格品。已知 某一大批该产品的合格品率为0.2。现从中随机地抽查20只，求20 只元件中恰有d只为合格品的概率。 解 本例属破坏性检验，当然是不放回抽样，但由于该批元件总数 很大，抽样数量又很少，对总体的影响是微不足道的，故可作为无 限总体放回抽样处理。因此，抽查的20只元件中的合格品数X可看 作是二项分布随机变量，其恰为d的概率 d d n d P x d Cn p p − ( = ) = (1− ) EX = np DX = np(1− p) ( ) (0.2) (0.8) 0,1,2, ,20 2 0 P x = d = C2 0 d d −d d =
(三)泊松分布(Poisson distribution) ·设离散型随机变量X服从泊松分布，则其取值k的概率 P(X=k)=Re-a k=0,1,2,. k! 其中，λ=np,n为样本容量，p为不合格率（或缺陷率等）。 数学期望和方差分别为EX=入 DX=几 例3服用某种保健品产生副作用的概率为0.002。求在1000例服用 病人中，恰有k例出现副作用的概率。 解1000例中发生副作用的病人数的数学期望入=p=2。因此， 1000例服用病人中发生副作用的人数X服从如下的泊松分布： P(r=)=2e2 k=0,1,2,. 例4薄膜每10m平均有5个疵点。现抽检0.7m薄膜，求下列事件概 率：A={无疵点，B={恰好有一个疵点}，C={最多有一个疵点}。 解在0.7m薄膜上平均应有5×7/100=0.35个疵点。0.7m薄膜上 的疵点数X服从参数入=0.35的泊松分布，即 P(X=)=0.35←e033 k=0,1,2,. k 所以，P④=PX=0)=e03=0.7047 P(B)=P(X=1)=0.35e035=0.2466 P(C)=P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.9513
(三) 泊松分布（Poisson distribution） • 设离散型随机变量X服从泊松分布，则其取值k的概率 其中，λ=np，n为样本容量，p为不合格率（或缺陷率等）。 数学期望和方差分别为 例3 服用某种保健品产生副作用的概率为0.002。求在1000例服用 病人中，恰有k例出现副作用的概率。 解 1000例中发生副作用的病人数的数学期望 。因此， 1000例服用病人中发生副作用的人数X服从如下的泊松分布： 例4 薄膜每10㎡平均有5个疵点。现抽检0.7㎡薄膜，求下列事件概 率：A={无疵点}，B={恰好有一个疵点}，C={最多有一个疵点}。 • 解 在0.7㎡薄膜上平均应有5×7/100=0.35个疵点。0.7㎡薄膜上 的疵点数X服从参数λ=0.35的泊松分布，即 所以， 0,1,2, ! ( = ) = = − k k e P X k k EX = DX = = np = 2 0,1,2, ! 2 ( ) 2 = = = − k k e P X k k 0,1,2, ! 0.35 ( ) 0.3 5 = = = − k k e P X k k ( ) ( 0) 0.7047 0.35 = = = = − P A P X e ( ) ( 1) 0.35 0.2466 0.35 = = = = − P B P X e P(C) = P(X 1) = P(X = 0) + P(X =1) = 0.9513
(四)几种离散型概率分布之间的关系 ·超几何分布源于对有限总体的不放回抽样，每次抽样结果将影响 总体的不合格品率。，因此，每次抽样的结果不是相互独立的。 项分布源于对无限总体的有限抽样，每次抽取的样品无论是否返 回总体，都不会影响总体的不合格品率。因此，每次抽样的结果 是相互独立的。在一定条件下，两种分布的适用性可以相互转化。 当nW≤O.1时，或当p=DW≤O.1时，可以用二项分布来近似超 几何分布。当W较大时，二项分布的计算要方便得多。 ·泊松分布描述稀有事件出现概率，或者说反映随机点（随机事件） 在一定时间（空间）内的散布规律，和超几何分布及二项分别的 产生背景有根本的区别。但是，当总体相当大，不合格品率又很 低时，抽样中不合格品的出现将成为稀有事件，因而在一定条件 下，超几何分布和二项分布可以用泊松分布来近似计算。 当样本容量n较大，且n/W≤0.1及p≤O.1时，超几何分布可以 用泊松分布来近似；当n较大（如n≥100），p较小（如 p≤0.1)，同时p≤4时，二项分布可以用泊松分布来近似。 泊松分布是应用十分广泛的离散型随机变量，它和连续型正态分 布随机变量有着密切的联系。有关研究表明，当样本中不合格品 数平均值时，泊松分布以正态分布为极限分布，因此，可用正态 分布近似
(四) 几种离散型概率分布之间的关系 • 超几何分布源于对有限总体的不放回抽样，每次抽样结果将影响 总体的不合格品率。因此，每次抽样的结果不是相互独立的。二 项分布源于对无限总体的有限抽样，每次抽取的样品无论是否返 回总体，都不会影响总体的不合格品率。因此，每次抽样的结果 是相互独立的。在一定条件下，两种分布的适用性可以相互转化。 当n/N≤0.1 时，或当p=D/N≤0.1 时，可以用二项分布来近似超 几何分布。当N 较大时，二项分布的计算要方便得多。 • 泊松分布描述稀有事件出现概率，或者说反映随机点（随机事件） 在一定时间（空间）内的散布规律，和超几何分布及二项分别的 产生背景有根本的区别。但是，当总体相当大，不合格品率又很 低时，抽样中不合格品的出现将成为稀有事件，因而在一定条件 下，超几何分布和二项分布可以用泊松分布来近似计算。 当样本容量n 较大，且n/N≤0.1 及p≤0.1 时，超几何分布可以 用泊松分布来近似；当n 较大（如n≥100），p 较小（如 p≤0.1），同时np≤4 时，二项分布可以用泊松分布来近似。 • 泊松分布是应用十分广泛的离散型随机变量，它和连续型正态分 布随机变量有着密切的联系。有关研究表明，当样本中不合格品 数平均值时，泊松分布以正态分布为极限分布，因此，可用正态 分布近似
(五)正态分布(normal distribution) 。小 正态分布是应用最为广泛的一种连续型概率分布，在计量值型质 量特性值的控制和检验中经常被用来描述（或近似描述）质量变 化的规律。 1.正态分布随机变量的定义和性质 1 ·设连续型随机变量X的概率密度为fx)= _-e 2o2 -0<X<0 √2π0 其中μ，0≥0为常数，则称X服从参数为μu,o的正态分布，记为 X~N(4,o2)。正态分布随机变量X的分布函数为 (t-u)2 F(x)=2πo 1 202 dt ·特别地，若参数μ=0，o=1,即X~N(0,1),则称X为标准正态分 布随机变量。 ·正态分布随机变量X的数学期望和方差分别为 EX=L, DX =o2 参数μ作为总体平均值，描述质量特性值分布的集中位置和对称 中心，参数0作为总体标准差，描述质量特性值分布的分散程度。 正态分布质量特性值的分布曲线由和两者唯一确定
(五) 正态分布（normal distribution） • 正态分布是应用最为广泛的一种连续型概率分布，在计量值型质 量特性值的控制和检验中经常被用来描述（或近似描述）质量变 化的规律。 1.正态分布随机变量的定义和性质 • 设连续型随机变量X的概率密度为 其中μ，σ≥0为常数，则称X服从参数为μ，σ的正态分布，记为 。正态分布随机变量X的分布函数为 • 特别地，若参数μ=0，σ=1，即X～N(0,1)，则称X为标准正态分 布随机变量。 • 正态分布随机变量X的数学期望和方差分别为 • 参数μ作为总体平均值，描述质量特性值分布的集中位置和对称 中心，参数σ作为总体标准差，描述质量特性值分布的分散程度。 正态分布质量特性值的分布曲线由和两者唯一确定。 = − − − f x e x x 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) ~ ( , ) 2 X N F x e dt x t − − − = 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 EX = , DX =
2. 正态分布的概率计算。 ·常将标准正态分布的密度函数记为(x),分布函数记为Φ(x), 即 1 (x)= e2 √2元 Φ(x)= √2元 标准正态分布的密度函数值和分布函数值有表可查。 因此，一般正态分布的概率计算公式为： P(x<X≤)=Φ（二5）-() P(X≤)=(。) P(X>x)=1-Φ()
2. 正态分布的概率计算。 • 常将标准正态分布的密度函数记为 ，分布函数记为 ， 即 • 标准正态分布的密度函数值和分布函数值有表可查。 • 因此，一般正态分布的概率计算公式为： (x) (x) x e x e dt x x t − − − = = 2 2 2 2 2 1 , ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 − − − = x x P x X x ( ) ( ) − = x P X x ( ) 1 ( ) − = − x P X x