第三节三重积分三重积分的概念·三重积分的计算
第三节 三重积分 • 三重积分的概念 • 三重积分的计算
三重积分的概念一引例：设在空间有限闭区域Q内分布着某种不均匀的物质，密度函数为求分布在（内的物质的μ(x,y,z) EC,质量M.解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用“大化小，常代变，近似和，求极限”2可得nAVk2口limμ(Ek, Nk,Sk)AVkM =1-→0k=1(Ek, nk, Sk)
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 𝜇(𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘)𝛥𝑣𝑘 (𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘) 𝛥𝑣𝑘 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐶, 求分布在 内的物质的 可得 𝑘=1 𝑛 lim 𝑀 = 𝜆→0 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为
1、定义. 设若对Q作任意分割f(x,y,z),(x,y,z) E2,下列任意取点(Ek, nk,k) E AVk4vk (k = 1,2,...,n),"乘极限积和式"n20记作T limf(Ek,nk,Sk)AVkf(x, y,z)dy2-0k=1Q存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在2上的重积α驱从友在直角坐标系下常写作du称为体积元素dxdydz.43a5°
1、定义. 设 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) , (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛺 , lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑓(𝜉𝑘 , 𝜂𝑘, 𝜁𝑘)𝛥𝑣𝑘 存在, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ( , , )d f x y z v 𝑑𝑣称为体积元素, 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 𝛥𝑣𝑘 ( 𝑘 = 1 , 2 , ⋯ , 𝑛), (𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘) ∈ 𝛥𝑣𝑘, 下列 积和式” 极限 “乘 记作
2、性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如3、中值定理在有界闭域Q上连续,V为的设f(x,y,z)5使得体积，则存在(5,n,)en,JJJ f(x, y,z)dy=f(5,n,) V2
3、中值定理. 设 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 在有界闭域 上连续, 则存在 (𝜉, 𝜂, 𝜁) ∈ 𝛺 , 使得 = 𝑓(𝜉, 𝜂, 𝜁) 𝑉 V 为 的 体积, f x y z v ( , , )d 2、性质:三重积分的性质与二重积分相似.例如
、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分并将它看作某物体先假设连续函数f(x,y,z) ≥ 0,的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算方法:方法1：投影法（“先一后二”）方法2：截面法（"先二后一”）方法3．三次积分法最后，推广到一般可积函数的积分计算
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≥ 0 , 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: