第三节格林公式及其应用公式1.格林(Green)2.四个等价结论3.小结、作业1/23
第三节 格林公式及其应用 1. 格林（Green）公式 2. 四个等价结论 3. 小结、作业 1/23
格林公式一、7格林公式设闭区域D由分段光滑曲线L围成， P(x,y)、Q(x,J)eClD,则apaQ小L1)dxdy = $, Pdx + QdyaxayDD其中L是D的边界正向L2边界曲线L的正向：当观察者沿边界行走时a区域D总在左边L由L,与L2组成2/23
格林公式 设闭区域 D 由分段光滑曲线 L 围 成， P(x, y)、Q(x, y)C 1D,则 = + − L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) 其中 L 是 D 的边界正向, 一、格林公式 边界曲线L的正向: 当 观察者沿边界行走时， 区域D总在左边。 𝐷 𝐿2 𝐿1 𝐷 𝐿由𝐿1与𝐿2组成 𝐿 2/23
*证明若D是X-型，则-,%dxdy=- dx%dy[P(x, Φ2(x)) - P(x, Φ1 (x))]dxP(x, Φ2(x)dx +P(x, Φ1(x)dxy = Φ2(x)P(x,y)dx+ / P(x,y)dxDP(x,y)dxy = Φi(x)ba3/23
*证明 若D是X −型，则 −ඵ 𝐷 𝜕𝑃 𝜕𝑦 dxdy = − න dxන 𝜕𝑃 𝜕𝑦 dy = − න [𝑃(𝑥,𝜙2(𝑥)) − 𝑃(𝑥,𝜙1(𝑥))]dx = ර 𝑃(𝑥, 𝑦)dx = න 𝑃(𝑥, 𝑦)dx + න 𝑃(𝑥, 𝑦)dx = න 𝑃(𝑥,𝜙2(𝑥))dx + න 𝑃(𝑥,𝜙1(𝑥))dx 𝑦 = 𝜙1(𝑥) 𝑦 = 𝜙2(𝑥) 𝐷 𝑎 𝑏 3/23
若D非X型，用与x轴垂直的直线将D分割为若干个X型域D1、.…、Dn，边界分别为Li、…、Ln，则napgaxdy儿2- J.1dxdyZf. PdxPdx;DJL0dD dxdy= Φ Qdy;同理得ddo(x -)dxdy = Pdx+Qdy1建立了二重积分与边界曲线格林公式的实质：积分之间的联系4/23
若𝐷非𝑋型，用与𝑥轴垂直的直线将𝐷分割为若干 个𝑋型域𝐷1、 ⋯ 、𝐷𝑛，边界分别为𝐿1、⋯、𝐿𝑛，则 −ඵ 𝐷 𝜕𝑃 𝜕𝑦 dxdy ඵ 𝐷 𝜕𝑄 𝜕𝑥 dxdy = ර 𝐿 Qdy; 同理得 = 𝑖=1 𝑛 −ඵ 𝐷𝑖 𝜕𝑃 𝜕𝑦 dxdy = 𝑖=1 𝑛 ර 𝐿𝑖 Pdx = ර 𝐿 Pdx ; ∴ ඵ 𝐷 ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦)dxdy = ර 𝐿 Pdx + Qdy. 格林公式的实质: 建立了二重积分与边界曲线 积分之间的联系. 4/23
例1.求L为(x2-e*cosy)dx+ (e*siny+3x)dy,沿右半圆周x2+(y-1)2=1从A(0,2)到0(0,0)。解用格林公式。记右半圆域为D。Ad= , 0α-0dyL原式=12D3dxdyJOAJoA:x=0D032n + cos2 - 1.sinydy=-3[DI -5/23
例1. 求 න 𝐿 (𝑥 2 − 𝑒 𝑥 cos𝑦)dx + (𝑒 𝑥 sin𝑦 + 3𝑥)dy , 𝐿为 沿右半圆周 𝑥 2 + (𝑦 − 1) 2 = 1从𝐴(0,2)到𝑂(0,0)。 解 用格林公式。 原式 = − ර 𝜕𝐷 − න OA → 记右半圆域为𝐷。 = −ඵ 𝐷 ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦)dxdy − න OA → = −ඵ 𝐷 3dxdy − න OA → :𝑥=0 = − 3 2 𝜋 + cos2 − 1. = −3|𝐷| − න sinydy 𝐷 𝐿 𝐴 𝑂 5/23