第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法
第四节 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
概念的引入一、村实例若曲面匕是光滑的，它的面密度为连续函数p(x,y,z)，求它的质量40200所谓曲面光滑-20元0-49即曲面上各点处都4000有切平面，且当点在2000曲面上连续移动时切平面也连续转动40-2002040
一、概念的引入 若曲面是光滑的, 它的面密度为连 续函数(x, y,z), 求它的质量. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动
对面积的曲面积分的定义二、1.定义设曲面是光滑的，函数f(x,y,z)在Z上有界，把Z分成n小块△S，（△S,同时也表示第i小块曲面的面积），设点(5,ni,S)为△S,上任意取定的点，作乘积f(Si,ni,S)·△S,并作和f(i,ni,S)△S，如果当各小块曲面i-1的直径的最大值一→0时，这和式的极限存在则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面Z上对面积的曲面积分或第一类曲面积分
二、对面积的曲面积分的定义 设曲面是光滑的, 函数 f (x, y,z)在 上有界, 把分成n小块Si （Si 同时也表示 第i小块曲面的面积）,设 点( , , ) i i i 为Si上 任意取定的点,作乘积 i i i Si f ( , , ) , 并作和= n i i i i f 1 ( , , ) Si, 如果当各小块曲面 的直径的最大值 → 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f (x, y,z)在曲面上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 1.定义
J f(x, y,z)ds.记为Zn即JJ f(x, y,z)dS= lim)Zf(5,ni,5i)AS;2→0i=1Z叫积分曲面，其中f(x,y,z)叫被积函数2.对面积的曲面积分的性质若可分为分片光滑的曲面则JJ f(x, y,z)ds =JJ f(x,y,z)ds+f f(x, ,z)ds.2Z12
即 f (x, y,z)dS i i i n i = f i S = → lim ( , , ) 1 0 记为 f (x, y,z)dS. f (x, y,z)dS = + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 2.对面积的曲面积分的性质 若𝛴可分为分片光滑的曲面 𝛴1及𝛴2 , 则 其中 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)叫被积函数， 𝛴叫积分曲面
三、 又对面积的曲面积分的计算法Z定理：设有光滑曲面Z: z = z(x,y), (x,y) E Dxyf(x,,z)在上连续,则曲面积分J存在,且有(Aok)xy(Ek, nk, Sk)一1 + Zx2(x, y) + Zy2(x, y)dxdyf(x
𝑜 𝑥 𝑦 𝑧 定理: 设有光滑曲面 𝛴: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑥𝑦 f (x, y, z) 在 上连续, ඵ 存在, 且有 = ඵ 𝑓(𝑥, 𝑦, ) ඵ 1 + 𝑧𝑥2 (𝑥, 𝑦) + 𝑧𝑦2(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 三、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 𝐷𝑥𝑦 (𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘) (𝛥𝜎𝑘) 𝑥 𝑦 𝛴