二非齐次线性方程组a11x1+a12x2+...+a1nxn=bia21x1+a22x2+...+a2nxn=b2(1)am1X1 +am2x2+..+amnxn = bmaina11a12/X1bia21azna22A=X2b2:：三X=B =三:(amlam2amnXnbm非齐次方程组的AX = B方程组的AX = 0系数矩阵矩阵形式导出组
二、非齐次线性方程组 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎mn𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 𝐴 = 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎mn 𝑋 = 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 𝐵 = 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑚 系数矩阵 AX = 𝐵 方程组的 AX = 𝑂 矩阵形式 非齐次 方程组的 导出组 （1）
/a11)/a12)ainbi引进向量a21a22aznb2β=二αn =αiα2=：：::bmam1amnam2Xiai+X2α2+..+xnαn=β方程组的向量方程非齐次线性方程组的有解判定β可由α1,α2,,αn线性表示方程组（1）有解台 A = (α1,α2, ",αn,β),r(A) = r(A)A=(α1,α2,,αn,β)称为方程组(1)的增广矩阵非齐次线性方程组的解法1.非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组的有解判定 𝛽 = 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑚 𝛼1 = 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑚1 𝛼2 = 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2 𝛼𝑛 = 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑎mn 𝑥1𝛼1 + 𝑥2𝛼2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝛼𝑛 = 𝛽 引 进 向 量 方程组的向量方程 方程组（1）有解 ⇔ 𝛽 可由𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛线性表示 ⇔ 𝐴LJ = (𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛, 𝛽), 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴LJ) 𝐴LJ = (𝛼1, 𝛼2, ⋯ , 𝛼𝑛, 𝛽)称为方程组(1)的增广矩阵. 非齐次线性方程组的解法 1.非齐次线性方程组解的性质
生质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。= A(n1 n2) = 0An1 = B,An2 = B性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是非齐次方程组（1）的解= A(n +)= BAn = B,A = 02.非齐次线性方程组的通解E1,52,,5n-r是其导设n 是非齐次方程组的一个特解，定理：出组的基础解系，则非齐次方程组（1）的通解为n +ki51 + k252 +...+ kn-r5n-rki,k2,",kn-r为任意常数，r=r(A)(i) r(A)= r(A) = n时，方程组（1）有惟一解 ;推论：(i)r(A)=r(A）<n时，方程组（1）有无穷多解，其n +k151 +k252 +... +kn-r5n-r通解为(ii)r(A)±r(A)时，方程组（1）无解
性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。 𝐴𝜂1 = 𝐵, 𝐴𝜂2 = 𝐵 ⇒ 𝐴(𝜂1 − 𝜂2) = 𝑂 性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。 𝐴𝜂 = 𝐵, 𝐴𝜉 = 𝑂 ⇒ 𝐴(𝜂 + 𝜉) = 𝐵 2.非齐次线性方程组的通解 设𝜂 是非齐次方程组的一个特解， 𝜂 + 𝑘1𝜉1 + 𝑘2𝜉2 + ⋯ + 𝑘𝑛−𝑟𝜉𝑛−𝑟 出组的基础解系， 𝜉1, 𝜉2, ⋯, 𝜉𝑛−𝑟是其导 则非齐次方程组（1）的通解为 定理： 𝑘1, 𝑘2, ⋯ , 𝑘𝑛−𝑟为任意常数，𝑟 = 𝑟(𝐴). 推论： (𝑖) 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴LJ) = 𝑛时，方程组（1）有惟一解； (ii) 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴LJ) < 𝑛时，方程组（1）有无穷多解，其 通解为 𝜂 + 𝑘1𝜉1 + 𝑘2𝜉2 + ⋯ + 𝑘𝑛−𝑟𝜉𝑛−𝑟 (iii) 𝑟(𝐴) ≠ 𝑟(𝐴LJ)时，方程组（1）无解
X1+2x2—X3=1例1：求解方程组2x1+3x2+x3=0r(A) = r(A)4x1+7x2- x3= 2有解:112:112:01212A= (23-2:-2Q：-1>(03→(0-1347)：0):-200030-1:-3-310510)：-2A316→(03-1(O1):000000X1 =-5x3 - 3(X2=3x3+2同解方程组为
ቐ 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 1 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 0 4𝑥1 + 7𝑥2 − 𝑥3 = 2 例1：求解方程组 𝐴LJ = ( 1 2 −1 2 3 1 4 7 −1 ⋮ 1 ) ⋮ 0 ) ⋮ 2 ) → ( 1 2 −1 0 −1 3 0 −1 3 ⋮ 1 ) ⋮ −2 ) ⋮ −2 ) → ( 1 2 −1 0 −1 3 0 0 0 ⋮ 1 ) ⋮ −2 ) ⋮ 0 ) → ( 1 0 5 0 −1 3 0 0 0 ⋮ −3 ) ⋮ −2 ) ⋮ 0 ) → ( 1 0 5 0 1 −3 0 0 0 ⋮ −3 ) ⋮ 2 ) ⋮ 0 ) 有解 𝑟(𝐴LJ) = 𝑟(𝐴) ቊ 𝑥1 = −5𝑥3 − 3 同解方程组为 𝑥2 = 3𝑥3 + 2
(x1 = -3：特解为n = (-3,2,0)X2= 2X3 = 0,=→x1 = -5 = (-5,3,1)7(X2=3X3 = 1,→所以基础解系为(x1 = -5x3( X2 = 3x3n +ks通解为
𝜂 + 𝑘𝜉 𝑥3 = 0, ⇒ ቊ 𝑥1 = −3 𝑥2 = 2 ∴ 特解为𝜂 = (−3,2,0) 𝑇 𝑥3 = 1, ⇒ ቊ 𝑥1 = −5 𝑥2 = 3 所以 基础解系为 𝜉 = (−5,3,1) 𝑇 通解为 ቊ 𝑥1 = −5𝑥3 𝑥2 = 3𝑥3