第三节分部积分法1. ^分部积分法2.例题3．小结、作业1/15
第三节 分部积分法 1. 分部积分法 2. 例题 3. 小结、作业 1/15
一、分部积分法微分法中的乘法一何种积分法？设u=u(x)、v=v(x)eCl由(u) =u'v+uv', uv'=(uv) -u'v, 得分部积分公式：{uv'dx=uv-u'vdx,即 [udvy= uv-{ vdu.2/15
微分法中的乘法何种积分法？ 设u = u(x)、v = v( x)C 1 , (uv) = uv + uv , 由 uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. 即 = − 一、分部积分法 得 分部积分公式： 2/15
用法：适当分解被积式为f(x)dx = u(x) · v'(x)dx = u(x)dv(x)将所求积分「f(x)dx化为求两部分积分v(x) 及( v(x)du(x) = (u'(x)v(x)dx.关键：u,选择要得当，使v(x）易求；[v(x)du(x)= u(x)v(x)dx比原积分易求3/15
用法： ， 适当分解被积式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx = u x v x dx = u x dv x 关键： u,v 选择要得当， ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) . ( ) v x v x du x u x v x dx f x dx 及 将所求积分 化为求两部分积分 使v(x) 易求； v(x)du(x) = u(x)v(x)dx比原积分易求。 3/15
二、 例题例1求「xcosxdx.两个不同类型函数乘积的积分，换元法失效。x2解法一[xcosxdx(-sin xdx)一cosx-22显然，u，v选择不当，积分更难进行解法二xcosxdx= ( xd sinx = xsinx -sinxdx=xsinx+cosx+C.分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。4/15
二、例题 例1 求 cos . x xdx 两个不同类型函数乘积的积分，换元法失效。 xcos xdx = − (−sin ) 2 cos 2 2 2 xdx x x x 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解法二 xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C. 解法一 分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。 4/15
Ix'e*dx.例2求( x'e*dx = x"e* -2[ xe*dx解= x'e* - 2(xe* - e*dx)=xe*-2(xe*-e*)+C.有时需要多次使用分部积分，使积分逐步化简5/15
例2 求 . 2 x e dx x 解 x e dx 2 x = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + = − 2( − ) 2 x e xe e dx x x x 有时需要多次使用分部积分，使积分逐步化简。 5/15