一之回颌、(4)F,)=o→ i又1=4(2),)=(, 4F(×,,2)=Du=uix, )S Fx,, u,u)=(3)L34G(X,7)=0Lqixn,u,j=DV=V(X,y)第五节隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式
复男教Z=fiu,v)u=x,), = V(x,) Z=fx),(x,=4x,)2.Ux +Vx2LEy =(l uyVUuvZuUxZ=flu,x,)u=uix,)2x-fu-ux+fxy=(x+)置导。 fi,fz, fu, f2,fi2, f2)Z= fru,v)
一、一个方程的情形1. F(x,y)= 0隐函数存在定理 1 设函数F(x,y)在点P(xo,Jo)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(xo,Jo)=0,E(xo,Jo)± 0,则方程F(x,J)=0在点P(xo,Jo)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件y。=f(x)，并有Fdy2dxH隐函数的求导公式Via明：df(x,h)=do下αdα+ Fydy=°，dy=--法5A
1. F(x, y) = 0 隐函数存在定理 1 设函数F(x, y)在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F(x0 , y0 ) = 0， Fy (x0 , y0 ) 0，则方程F(x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导 数的函数 y = f (x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ，并有 y x F F dx dy = − . 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形
例 1 验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时v=1的隐函数y=f(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值解 令 F(x,)=x2+2-1则 F,=2x,F,=2y,F(0,1) = 0,， F,(0,1) = 2 ± 0,依定理知方程x2+ y2-1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时v=1的函数y= f(x)
例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时 y = 1 的隐函数 y = f (x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2 x , x = F 2 y , y = F ( 0 , 1 ) = 0 , ( 0,1 ) = 2 0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时y = 1的 函数 y = f ( x)．
xityl-nod(x+y)=do函数的一阶和二阶导数为>xdx+2ydy-o=0dyFdyX= 0,dy=Edxdxx=0dxF.2XXd'yy-xy22dx?yVd'y=-1.dr?x=0
函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y − = − 2 y y x y x − − = − , 1 3 y = − 1. 0 2 2 = − x= dx d y