数学系Universityof Science and Technology of China第6章解线性方程组的迭代法直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出它们的计算量都是n3数量级，存储量为n量级，这在n比较小的时候还比较合适（n<1000，1Gs，15秒，8M），但是对于现在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵往往是稀疏矩阵就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样，需要我们构造一个等价的方程，从而构造一个收敛序列，序列的极限值就是方程组的根
数 学 系 University of Science and Technology of China 第6章 解线性方程组的迭代法 直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出， 它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的 时候还比较合适（n<1000 , 1G/s , 15秒 , 8M），但是对于现在的 很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵 往往是稀疏矩阵就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩 阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们 有必要引入一类新的方法：迭代法。 迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一 样，需要我们构造一个等价的方程，从而构造一个收敛序列， 序列的极限值就是方程组的根
数学系University of Science and Technology of China对方程组A=M-N做等价变换x(k+1)=Gxh+g如：令=iG+g=Axb，则N则，我们可以构造序列 ×1- iGr("-GxG(x- D)若==G*1(x0)- x0)K0YO同时：Gk-op(G)<1所以，序列收敛 p(G)<Il Gl与初值的选取无关
数 学 系 University of Science and Technology of China 对方程组 做等价变换 如：令 ，则 则，我们可以构造序列 若 同时： 所以，序列收敛 与初值的选取无关
数学系University of Science and Technology of China（收敛矩阵）ⅡGI<1定义：ta-nxn=b定理：Cux+e tonxn-Dn矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径<1-aa++aM-b,)由则，迭代收敛知，若有某种范数--(a,x+++0+a.x-0,)口a.x+D4
数 学 系 University of Science and Technology of China 定义：（收敛矩阵） 定理： 矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径<1 由 知，若有某种范数 则，迭代收敛
数学系Universityof Science and Technology of China6.1Jacobi选代ax(ai2x2 +... +ainxn -b)t二2(a21xi +a23x +...+ainxn -b,)一03x(anixi +...+ann-iXn-1 -bn)Yann
数 学 系 University of Science and Technology of China 6.1 Jacobi迭代 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 21 1 23 3 1 2 22 2 12 2 1 1 11 1 n n n n n nn n n n n n a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x b a x
数学系University of Science and Technology of China(k+1)k(k) -b)X(a12X2+ainxnanl-1(k+1)(k)KR-b2)X2二a21x)+ax3+...+ainxna22-1(k+1)K(k)-b.)x+...+ann(anx)n-rXn-1nann格式很简单：：福ann
数 学 系 University of Science and Technology of China ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( 1) 2 ( ) 1 ( ) 23 3 ( ) 21 1 22 ( 1) 2 1 ( ) 1 ( ) 12 2 11 ( 1) 1 n k n n n k n nn k n k n n k k k k n n k k a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x b a x 格式很简单：