王由行列式定义,D中仅含下面形式的项 、b4y"a142b5…a =a1(-1 (1,j2,j3,…,n) 21233mjn c其中(-1)b2…am恰是M1的一般项 王所以D=nM 工工 =an(-1)+Mn a. A 上页
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项 n n j j nj j j j a a a a 2 3 2 3 11 2 3 (1, , , , ) ( 1) − n n j j nj j j j a a a a 2 3 2 3 2 3 (1, , , , ) 11 ( 1) = − 其中 n n j j nj j j j a a a 2 3 2 3 2 3 (1, , , , ) ( 1) − 恰是 M11 的一般项. 所以 D = a11M11 11 1 1 11 a ( 1) M + = − = a11A11
士 (2)设D的第i行除了4外都是0. 11 D=0 0把D转化为(1)的情形 11 n nn 上把D的第i行依次与第-1行,第-2行,… 上第2行,第行交换;再将第j列依次与第-1列, 上第j-2列,…第2列,第1列交换,这样共经过 王(-1)+(-12=1+-2次交换行与交换列的步骤
(2) 设 D 的第 i 行除了 ij a 外都是 0 . n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 把D转化为(1)的情形 把 D 的第 i 行依次与第 i − 1 行，第 i − 2 行，····· ·， 第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j − 1 列， 第 j − 2 列，······，第2列，第1列交换，这样共经过 (i − 1) + ( j − 1) = i + j − 2 次交换行与交换列的步骤
由性质2-2,行列式互换两行(列)行列式变号, 得 0 0 D=(-1)21a-1 1,n n,j-1 m1 =(-1)+anM =(-1)+A 上页
由性质2-2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得 nj n j nn i j i j i n i j i j a a a a a a a D , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 ( 1) − − − − − + − = − ij ij = (−1) i+ j a M ij i j A + = (−1)
(3)一般情形 11 12 In D=a a i2 n2 nn I 12 In : =an+0+…+00+a2+…+0…0+…+0+an nn 上页
(3) 一般情形 n n nn i i in n a a a a a a a a a D 1 2 1 2 11 12 1 = n n nn i i i n n a a a a a a a a a 1 2 1 2 11 12 1 = + 0 + + 0 0 + + + 0 0 + + 0 +
aL 11 2:0 iI 0+0a2…0+…+00 2 a,a 2 1 n2 =A+aA2++am(i=12,…,n)证毕 3-53 王例如,行列式D=0-10按第一行展开,得 772 10000-1 D=-3 +5 +3 727277 上页
n n nn i n a a a a a a a 1 2 1 11 12 1 = 0 0 n n nn i n a a a a a a a 1 2 2 11 12 1 + 0 0 n n nn in n a a a a a a a 1 2 11 12 1 + + 0 0 = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 ++ ainAin (i = 1,2, ,n) 例如，行列式 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − D = 7 2 1 0 3 − D = − = 27. 按第一行展开，得 7 2 0 0 + 5 7 7 0 1 3 − + 证毕