沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第5章 二次型 5.2 二次型的标准形与规范形

例2用配方法将二次型f(x,x2,x)= 2x,x2 +4xx3化成标准形，并写出相应的线性变换解由于二次型中不含变量的平方项，只含混合项，故先作线性变换Xi=Ji+y2X2 = yi - y2Jy3X =001018

例2 用配方法将二次型 1 2 3 1 2 1 3 f x x x x x x x ( , , ) 2 4   化成标准形，并写出相应的线性变换. 解 由于二次型中不含变量的平方项，只含混 合项，故先作线性变换 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y          

即101xyi01-12y2-00则原二次型化为f = 2y? +4yiy3 -2y2 +4y2y3= 2(y1 + y3)? -2y2 +4y23 -2y3= 2(y +ys)? -2(y2 - ys)20101018

即 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y                            则原二次型化为 2 2 2 4 2 4 1 1 3 2 2 3 f y y y y y y     2 2 2 2( ) 2 4 2 1 3 2 2 3 3      y y y y y y 2 2 2( ) 2( ) 1 3 2 3     y y y y

再令Z1 = y1+y3Y2Z2-y3=y3Z3=0yi即01J2Z00f =2z -2z则原二次型化为标准形0101018

1 1 3 2 2 3 3 3 z y y z y y z y           1 1 2 2 3 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 z y z y z y                            再令 即 则原二次型化为标准形 2 2 1 2 f z z   2 2

相应的线性变换为10y0-112J200Y3X010)(110011-11220000110Z-1-21220000108

相应的线性变换为 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y                            1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 z z z                        1 2 3 1 1 0 1 1 2 0 0 1 z z z                       