第二节 第六章 定积分在儿何学上的立用 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 三、 已知平行截面面积函数的 立体体积 四、 旋转体的侧面积补充) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六章
一、平面图形的面积 1.直角坐标情形 yt y=f(x) 设曲线y=f(x)(20)与直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围曲 边梯形面积为A,则 oax\b x+dx dA=f(x)dx 4-CG)dx y=(x)y=f2(x) 右下图所示图形面积为 4=[f(x)-()dx axx+dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 dA = f (x)dx o a b x y y = f (x) x x + dx A f x x b a ( )d = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 y o a b x ( ) 2 ( ) y = f x 1 y = f x A f x f x x b a ( ) ( ) d = 1 − 2 x x + d x
例1.计算两条抛物线y2=x,y=x2在第一象限所围 所围图形的面积 解：由 y=x y=x 得交点(0,0)，1,1) .A=-x2)dx -6 x+dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . x y = x 2 o y 2 y = x x x + d x 解: 由 得交点 (0, 0) , (1,1) (1,1) 1 d A ( x x )dx 2 = − 3 1 = = 1 0 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围图形 的面积 解：由 y2=2x 得交点 J y=X-4 1y2=2x (8,4) v+d (2,-2),(8,4) 为简便计算，选取y作积分变量， =X- 则有 A=2(y+4-y2)d [y2+4y-y3]2=18 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y 2x 2 = o y y = x − 4 例2. 计算抛物线 y 2x 2 = 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 (2, − 2) , (8, 4) (8,4) d A ( y 4 y )dy 2 2 1 = + − =18 y = x − 4 所围图形 (2,− 2) 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 y y + d y − = 4 2 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2 例3.求椭圆 =1所围图形的面积 解：利用对称性，有dA=ydx 1=4a 利用椭圆的参数方程 oxx+dxa x x acost y=bsint (0≤t≤2π) 应用定积分换元法得 A=4 bsint.(-asint)dt =4ab =πab 当a=b时得圆面积公式 HIGH EDUCATION PRESS @-0C08 机动目录上页下页返回结束
a b o x y x 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , d A = y dx 所围图形的面积 . 有 = a A y x 0 4 d 利用椭圆的参数方程 (0 2 ) sin cos = = t y b t x a t 应用定积分换元法得 = 2 0 2 4 sin d ab t t = 4ab 2 1 2 = ab 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x + d x