全概率定理如果事件A1,42构成一个完备 事件组,并且都具有正概率,则对任意一事件 B有P(B)=∑P(A)P(B|A) 证由于A1,42,两两互不相容,因此, A1B,A2B,…,也两两互不相容.且 B=B9=BC∑1)=∑BA 由加法法则和乘法法则得 P(B)=∑P(AB)=∑P(4)P(B|A,)
7 全概率定理 如果事件A1 ,A2 ,…构成一个完备 事件组, 并且都具有正概率, 则对任意一事件 B有 i P B P Ai P B Ai ( ) ( ) | i i i i i i i i i P B P A B P A P B A B B B A BA ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) 由加法法则和乘法法则 得 证 由于A1 ,A2 ,…两两互不相容, 因此, A1B,A2B,…也两两互不相容. 且
全概率定理的图形理解 如图所示,事件B的面积为B与各个事件A相交 的面积之和 B
8 全概率定理的图形理解 如图所示, 事件B的面积为B与各个事件Ai相交 的面积之和. A1 A2 A3 A4 B
仝概率定理解题的思路 用全概率定理来解题的思路,从试验的角度考虑问 题,一定是将试验分为两步做,将第一步试验的各 个结果分为一些完备事件组A1A2,An2然后在 这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件 概率,最后用全概率公式综 A 试 试 验 B
9 用全概率定理来解题的思路, 从试验的角度考虑问 题, 一定是将试验分为两步做, 将第一步试验的各 个结果分为一些完备事件组A1 , A2 ,…,An , 然后在 这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件 概率, 最后用全概率公式综合 全概率定理解题的思路 试 验 1 试 验 2 … A1 A2 An B
例612个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3 个用完后放回,求第3次比赛时取到的3个球都 是新球的概率 解假设A0,41,42,43为第一次取到0个,1个,2个,3 个新球,当然,因为一开始都是新球,因此第 次只能取到3个新球,即43为必然事件,而 A0,A1,A2都是不可能事件 再假设B,B1B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3 个新球,当第二次取球的时候,12个乒乓球中 必然有3个旧球,而B0,B1,B2,B3构成完备事件组 并能够求出它们的概率,再假设C3为最后取到 3个新球,则针对C3使用全概率公式 10
10 例6 12个乒乓球都是新球, 每次比赛时取出3 个用完后放回, 求第3次比赛时取到的3个球都 是新球的概率 解 假设A0 ,A1 ,A2 ,A3为第一次取到0个,1个,2个,3 个新球, 当然, 因为一开始都是新球, 因此第一 次只能取到3个新球, 即A3为必然事件, 而 A0 ,A1 ,A2都是不可能事件. 再假设B0 ,B1 ,B2 ,B3为第二次取到0个,1个,2个3 个新球, 当第二次取球的时候, 12个乒乓球中 必然有3个旧球, 而B0 ,B1 ,B2 ,B3构成完备事件组, 并能够求出它们的概率, 再假设C3为最后取到 3个新球,则针对C3使用全概率公式