《材料力学》课程教学资源（PPT课件）第八章 应力状态和强度理论

s 8-2平面应力状态分析一一解析法8.2.1斜截面上应力状态-nOadATxydAcosα0TxyOxdAcosαTadAα0xTafbfbTyxdAsinaTyx(c)oMt(d)OydAsinα由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：其中dA为斜截面e的面积.dA-(,dAcos α)cosα + (txdAcos α)sin αZrn=0L-(,dAsin α)sin α+(txdAsin α)cosα = 0t.dA- (o,dAcosα)sin α -(txydAcosα)cosαZt=0=+(α,dAsin α)cosα +(twdAsin α)sin α = 0

§8-2 平面应力状态分析——解析法 8.2.1斜截面上应力状态 n = 0 ( ) ( ) ( d sin )sin ( d sin )cos 0 d d cos cos d cos sin x y − + = − +               A A A A A y y x x 由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线 n和切线t方向可得： ⇒ t = 0 ( ) ( ) ( d sin )cos ( d sin )sin 0 d d cos sin d cos cos x y + + = − −               A A A A A y y x x ⇒ 其中dA为斜截面ef的面积

s 8-2平面应力状态分析一解析法8.2.1斜截面上应力状态1+cos2αCOSα=21-cos2α简化：②倍角公式sin?α=T=TXV1X2sin2α=2sinαcosαOx+0O-0cos2α-tsin2α(8.1)O0得：22Or-0sin2α+tcos2α(8.2)02o,dA-(α,dAcosα)cosα +(t dAcosα)sin αZn=0L-(,dAsin α)sin α+(txdAsin α)cosα = 0t.dA-(α,dAcosα)sin α -(tdAcosα cosαZt= 0↓+(o,dAsin α)cosα+(twdAsin α)sin α = 0

§8-2 平面应力状态分析——解析法 8.2.1斜截面上应力状态 n = 0 ( ) ( ) ( d sin )sin ( d sin )cos 0 d d cos cos d cos sin x y − + = − +               A A A A A y y ⇒ x x t = 0 ( ) ( ) ( d sin )cos ( d sin )sin 0 d d cos sin d cos cos x y + + = − −               A A A A A y y ⇒ x x 简化： ② 倍角公式        sin 2 2sin cos 2 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 cos 2 2 = − = + = 得：                 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = （8.1） （8.2） xy yx ①  =

s 8-2平面应力状态分析一一解析法8.2.1斜截面上应力状态0.+00-0(8.1)cos2α-tsin2α00220-0(8.2)sin2α+tcos2a公式表明：（1）平面应力状态下，一点的应力状态由过该点的两个相互垂直截面上的应力（ox、和txy）确定。（2）取另一截面β，令β=元/2+α，此截面上的应力为O,+o,x-μccos2α+tx,sin 2α0Bα+β=,+a,22单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。0.-0,PTα=-Tβsin 2α - Tr, cos 2αLB=2切应力互等定理

§8-2 平面应力状态分析——解析法 8.2.1斜截面上应力状态                 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = （8.1） （8.2） 公式表明： （2）取另一截面β，令β =π/2+α，此截面上的应力为 （1）平面应力状态下，一点的应力状态由过该点的两个相互垂直 截面上的应力（σx 、 σ y 和 τxy ）确定。          cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y + − − + =        sin 2 cos 2 2 xy x y − − = −   +  = x + y    = − 单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。 切应力互等定理

s 8-2平面应力状态分析一解析法8.2.2正应力极值状态0+0C-0Y(8.1)cos2α-tsin2αO-022EA=在何处？该处T=？OY-0sin 2α+tcos2a(8.2)福d2doO-0doα=0C设α=α时有：(-2sin2α)-t(2cos2α)=-2Tda02da2t0x-0XVtan2α.sin2α.+t,cos2α.=0(8.3)二二2a-0解出α及α+90do。=-2t。：当正应力取极值时doα=0Tα=0Idαdα都是主应力?maxmn

§8-2 平面应力状态分析——解析法 8.2.2正应力极值状态                 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = （8.1） （8.2） ? max  min = 在何处? 该处  = ? ( 2sin 2 ) (2cos 2 ) 2         xy x y d d − − − =  = −2 = = 0      d d 设 时有： 则： sin 2 cos 2 0 2 + = −       xy x y x y xy     −  = − 2 tan2  （8.3）    解出 及 +90      = −2 d d   = 0   = 0     d d 当正应力取极值时  max、 min都是主应力

s 8-2平面应力状态分析一解析法8.2.2正应力极值状态0O-0(8.1)cos2α-Tsin2α6d226X-Osin2α+tcos2a(8.2)C22Ttg2α0tg2a.cos2a.sin 20.0-0/1+tg2α/1+tg?2α0xa+2maxxV+t(8.4)xy22a.min若0>0,则α。α。+90°中绝对值较小者确定mx所在的平面若α,<Q则α、α。+90°中绝对值较小者确定α所在的平面

§8-2 平面应力状态分析——解析法 8.2.2正应力极值状态                 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = （8.1） （8.2） （8.4）                1 2 2 sin 2 1 2 1 cos 2 2 2 2 2 t g t g t g t g x y xy + = + = − = − ， ， 2 2 min max 2 2 xy x y x y        +         −  + = 若 x  y : 则、 +90 中绝对值较小者确定 max所在的平面 : 若 x  y 则、 +90 中绝对值较小者确定 min所在的平面