《材料力学》课程教学资源（PPT课件）第八章 应力状态和强度理论

s 8-2平面应力状态分析一一解析法8.2.3切应力极值状态0+00.-0(8.1)cos2α-t..sin2αO022在何处？Osin2α+tcos2α(8.2)C2Odty.2cos 2α-2t, sin 2α=0P有a今S2dαor0dtx即cos2α-,sin 2α=0 设α=α,时有=02dαOx-,O0则tan 2α, =cos2α, -T,sin 2α, =0(8.5)22Txy解出α及α+90°将三角函数表达式代入（8.2）式，得：TOO2maxV(8.6)X2Tmn

§8-2 平面应力状态分析——解析法 8.2.3切应力极值状态 = 0    d d 令 2cos 2 2 sin 2 0 2  − = −      x 有 x y cos 2 sin 2 0 2 − = −      x 即 x y = 1 = 0      d d 设 时有： cos 2 sin 2 0 2 1 − 1 = −      x 则 x y xy x y     2 tan 2 1 − = （8.5）  解出1及1 +90 将三角函数表达式代入（8.2）式，得： 2 2 min max ) 2 ( xy x y      + − =  （8.6）                 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = （8.1） （8.2） ? max  min = 在何处?

s 8-2平面应力状态分析一解析法8.2.3切应力极值状态o+o0-0(8.1)cos2α-tysin2αOC22在何处？O-O(8.2)sin2α+tcos2α022txHax-a比较和tan2α。tan 2αja,-9,2tJXy1元元即α=α+有tan 2α。=2α,=2α+142tan 2α,这表明最大和最小切应力平面和主平面的夹角为45°

§8-2 平面应力状态分析——解析法 8.2.3切应力极值状态                 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − + + = （8.1） （8.2） ? max  min = 在何处? 比较 x y xy     − = − 2 tan2  和 xy x y     2 tan 2 1 − = 1 0 tan 2 1 tan 2  有  = − 2 2 1 2 0   =  + 4 1 0  即 = + 这表明最大和最小切应力平面和主平面的夹角为45°

s 8-2平面应力状态分析一解析法例题8.1一点处的平面应力状态如图所示。已知, = 60MPa,tx =-30MPa.,=-40MPa, α =-30°。试求（1）α斜面上的应力：1xy（2）主应力、主平面；北（3）绘出主应力单元体。+

§8-2 平面应力状态分析——解析法 例题8.1 试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 一点处的平面应力状态如图所示。  = −30 。  x = 60MPa， 30MPa, x  = − = −40MPa,  y 已知  y   x xy 

s 8-2平面应力状态分析——解析法例题8.1解：（1）求α斜面上的应力0.+o0.0x1cos 2α - t, sin 2α0α2260-4060 +40cos(-60°)+30sin(-60°)221xy= 9.02MPaX00Xsin 2α + t, cos 2αT+a260+40(a)sin(-60°)-30cos(-60°2=-58.3MPa

解：（1）求 斜面上的应力 cos 2 sin 2 2 2 x y x y  x         + − = + − 60 40 60 40 cos( 60 ) 30sin( 60 ) 2 2 − + = + − + − = 9.02MPasin 2 cos 2 2 x y  x       − = + sin( 60 ) 30cos( 60 ) 2 60 40   − − − + = = −58.3MPa §8-2 平面应力状态分析——解析法 例题8.1  y   x xy  (a)

s 8-2平面应力状态分析一解析法例题8.1(2)求主应力、主平面ox =60MPa, tx =-30MPa,根据已知C,=-40MPa, α =-30°。a+oa2max1++Txy2O2amin60-4060 +40L+(-30)2xyX2268.3Mpa- 48.3Mpa+可知三个主应力分别是：(a) =68.3MPa, 2 =0, 03 =-48.3MPa

（2）求主应力、主平面 68.3MPa, 0, 48.3MPa 1 =  2 =  3 = −  = −30 。  x = 60MPa， 30MPa,  x = − = −40MPa,  y 根据已知 §8-2 平面应力状态分析——解析法 例题8.1    − =  + −      +  − = +         −  + = 48.3Mpa 68.3Mpa ( 30) 2 60 40 2 60 40 2 2 2 2 2 2 min max xy x y x y         y   x xy  (a) 可知三个主应力分别是：