第5章系统频率响应分析可见，在经典控制理论中，频率特性分析比时间响应分析更具优越性。频率特性分析法也有其不足。由于实际系统往往存在非线性，在机械工程中尤其如此，因此，即使能给出准确的输入正弦信号，系统的输出也常常不是一个严格的正弦信号。这使得建立在严格正弦信号基础上的频率特性分析与实际的情况之间有一定的距离，使频率特性分析产生误差。5.2频率特性的极坐标图（Nyquist图）频率特性G(jの)是复数，确切地说是一个实变的复值函数。所以G(j)随の变化的情况可以用复平面上的矢量表示，矢量的长度为其幅值G(iの)，与正实轴的夹角为其相角β(の），在实轴和虚轴上的投影分别为其实部和虚部。相角(の）的符号规定为从正实轴开始，逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负。如图5.4所示，其实部和虚部分别为U()=Re[G(jo) ]V(0)= Im[G(jo)]幅值和相角分别表示为U(o)A(0) = JU(0)+V(0)p(の)=arctanV(o)当@从0→o时，G(j@)端点的轨迹即为频率特性的极坐标图，或称Nyquist图，如图5.5所示，它不仅表示了幅频特性和相频特性，而且表示了时频特性和虚频特性。图中の的箭头方向为①从小到大的方向。ImReZG(jol)10007Inm10Rol0)图5.4频率特性的几何表示图5.5频率特性极坐标图5.2.1典型环节的Nyquist图在3.2.3节中曾分析一般系统均由一些典型环节组成，并介绍了工程控制系统中常用的一些典型环节的传递函数。同样，系统的频率特性也是由一些典型环节的频率特性所组成，熟悉这些典型环节的频率特性是了解系统频率特性和分析系统性能的基础。115
115 可见，在经典控制理论中，频率特性分析比时间响应分析更具优越性。 频率特性分析法也有其不足。由于实际系统往往存在非线性，在机械工程中尤其如此，因 此，即使能给出准确的输入正弦信号，系统的输出也常常不是一个严格的正弦信号。这使得建 立在严格正弦信号基础上的频率特性分析与实际的情况之间有一定的距离，使频率特性分析产 生误差。 5.2 频率特性的极坐标图 Nyquist 图 频率特性 G(j ) 是复数，确切地说是一个实变的复值函数。所以 G(j ) 随 变化的情况可 以用复平面上的矢量表示，矢量的长度为其幅值| G(j ) |，与正实轴的夹角为其相角 ( ) ，在 实轴和虚轴上的投影分别为其实部和虚部。相角 ( ) 的符号规定为从正实轴开始，逆时针方 向旋转为正，顺时针方向旋转为负。 如图 5.4 所示，其实部和虚部分别为 U( ) = Re[ G(j ) ] V( ) = Im[ G(j ) ] 幅值和相角分别表示为 A( ) 2 2 = + U V ( ) ( ) ( ) = arctan ( ) ( ) U V 当 从 0→∞时， G(j ) 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图，或称 Nyquist 图，如图 5.5 所示，它不仅表示了幅频特性和相频特性，而且表示了时频特性和虚频特性。图中 的箭头 方向为 从小到大的方向。 图 5.4 频率特性的几何表示 图 5.5 频率特性极坐标图 在 3.2.3 节中曾分析一般系统均由一些典型环节组成，并介绍了工程控制系统中常用的一 些典型环节的传递函数。同样，系统的频率特性也是由一些典型环节的频率特性所组成，熟悉 这些典型环节的频率特性是了解系统频率特性和分析系统性能的基础。 Im v() G(j) A() () u() Re O Im Re O G(j1) | G(j 1)| 1 2 3 4
机械控制工程基础下面在3.2.3节中给出的传递函数的基础上，分别讨论这几种典型环节的Nyquist图。1.比例环节X,(s)=K因比例环节的传递函数G(s) =X(s)故比例环节的频率特性为G(j@)=K因此，该环节的实频特性恒为K，虚频特性恒为0。幅频特性|G(iの)=K，相频特性/G(iの)=O，所以比例环节频率特性的Nyquist图为实轴上的一个定点，其坐标为(K，j0)，如图5.6所示。2.积分环节X(s)_ 1因积分环节的传递函数G(s) :X(s) Ts1故积分环节的频率特性为G(i@)jTo1因此，该环节的实频特性恒为0，虚频特性则为To幅频特性|G(jo)一，，相频特性ZG(jの)=-90°。To当の从0→00时，|G(jの)从8→0，相位总是-90°。所以积分环节频率特性的Nyquist图是虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点，如图5.7所示，积分环节具有恒定的相位滞后。Im [GGjo]Im +o[G(jo]一Re90°KRe图5.6比例环节的Nyquist图图5.7积分环节的Nyquist图3.微分环节X,(s) =Ts因微分环节的传递函数G(s) =Im tX(s)[G(ai]故微分环节的频率特性为G(jの)=jTのot因此，该环节的实频特性恒为0，虚频特性则为Tの。90°幅频特性|G(jの)=T，相频特性/G(jの)=90°。OLRe当の从0→8时，G(jの)的幅值由0→8，相位总是90。0=00所以微分环节频率特性的Nyquist图是虚轴的上半轴，由原图5.8微分环节的Nyquist图116
116 下面在 3.2.3 节中给出的传递函数的基础上，分别讨论这几种典型环节的 Nyquist 图。 1．比例环节 因比例环节的传递函数 ( ) ( ) ( ) o i X s G s K X s = = 故比例环节的频率特性为 G(j ) =K 因此，该环节的实频特性恒为 K，虚频特性恒为 0。 幅频特性| G(j ) |=K，相频特性∠ G(j ) =0，所以比例环节频率特性的 Nyquist 图为实轴 上的一个定点，其坐标为(K，j0)，如图 5.6 所示。 2．积分环节 因积分环节的传递函数 ( ) 1 ( ) ( ) o i X s G s X s Ts = = 故积分环节的频率特性为 G(j ) = 1 jT 因此，该环节的实频特性恒为 0，虚频特性则为 1 T − 。 幅频特性| G(j ) |= 1 T ，相频特性∠ G(j ) = −90 °。 当 从 0→∞时，| G(j ) |从∞→0，相位总是 −90 °。 所以积分环节频率特性的 Nyquist 图是虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点，如图 5.7 所 示，积分环节具有恒定的相位滞后。 图 5.6 比例环节的 Nyquist 图 图 5.7 积分环节的 Nyquist 图 3．微分环节 因微分环节的传递函数 ( ) ( ) ( ) o i X s G s Ts X s = = 故微分环节的频率特性为 G(j ) = jT 因此，该环节的实频特性恒为 0，虚频特性则为 T 。 幅频特性| G(j ) |= T ，相频特性∠ G(j ) =90°。 当 从 0→∞时， G(j ) 的幅值由 0→∞，相位总是 90°。 所以微分环节频率特性的 Nyquist 图是虚轴的上半轴，由原 图 5.8 微分环节的 Nyquist 图
第5章系统频率响应分析点指向无穷远点，如图5.8所示，微分环节具有恒定的相位超前。4.惯性环节KX,(s)因惯性环节的传递函数G(s)=Ts+1X(s)故惯性环节的频率特性为KKKTOG(jo) =1+T0211+T0jT@+1KKT因此，该环节的实频特性u(の)虚频特性(の)1+T021+T202K幅频特性|G(jの)相频特性G(jo)=-arctanTo。Ji+To?当@=0时，IG(j)/=K,ZG(jo)=0;K当の=1/T时，|G(jの)片ZG(jo)=-45°;V2当=80时，[G(j)/=0，ZG(j)=-90°当の从0→时，惯性环节的Nyquist图为如图5.9所示的一个半圆。可证明如下：Im t[G(ja)]因Ku(0)K1+T202ReKTOGEXoEf(0)=101+T0?0=1/7于是有图5.9惯性环节的Nyquist图KK(μ-) (e) ()122U.2.,jo为圆心，以K为半径的圆。由图所以，惯性环节频率特性的Nyquist图是一个以2可知，惯性环节频率特性的幅值随着频率的增大而减小，因而具有低通滤波的性能。同时可以看出，它存在相位滞后，且滞后相位角随频率的增大而增大，最大相位滞后为90°。5.一阶微分环节因一阶微分环节的传递函数G(s)= Ts +1故一阶微分环节的频率特性为G(j@)=Tj@+1因此，该环节的实频特性恒为1，虚频特性为Tの。幅频特性|G(jの)/1+T?2，相频特性ZG(jo)=arctanTの。当@=0时，[G(jの)-1,G(jの)=0;117
117 点指向无穷远点，如图 5.8 所示，微分环节具有恒定的相位超前。 4．惯性环节 因惯性环节的传递函数 ( ) ( ) ( ) 1 o i X s K G s X s Ts = = + 故惯性环节的频率特性为 G(j ) = j 1 K T + = 2 2 1 K + T 2 2 j 1 KT T − + 因此，该环节的实频特性 u( ) = 2 2 1 K + T ，虚频特性 v( ) = 2 2 1 KT T − + 。 幅频特性| G(j ) |= 2 2 1 K + T ，相频特性∠ G(j ) = −arctanT 。 当 =0 时，| G(j ) |=K，∠ G(j ) =0； 当 =1/ T 时，| G(j ) |= 2 K ，∠ G(j ) = −45 °； 当 =∞时，| G(j ) | = 0，∠ G(j ) = −90 °。 当 从 0→∞时，惯性环节的 Nyquist 图为如图 5.9 所示 的一个半圆。可证明如下： 因 u( ) = 2 2 1 K + T v( ) = 2 2 1 KT T − + 于是有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 K K K KT K U V T T − + = − + = + + 所以，惯性环节频率特性的 Nyquist 图是一个以 , j0 2 K 为圆心，以 2 K 为半径的圆。由图 可知，惯性环节频率特性的幅值随着频率的增大而减小，因而具有低通滤波的性能。同时可以 看出，它存在相位滞后，且滞后相位角随频率的增大而增大，最大相位滞后为 90°。 5．一阶微分环节 因一阶微分环节的传递函数 G s Ts ( ) 1 = + 故一阶微分环节的频率特性为 G(j ) =Tj 1 + 因此，该环节的实频特性恒为 1，虚频特性为 T 。 幅频特性| G(j ) |= 2 2 1+T ，相频特性 G(j ) = arctanT 。 当 =0 时，| G(j ) |=1，∠G(j ) =0； 图 5.9 惯性环节的 Nyquist 图
机械控制工程基础0=1/T时，IG(j)=V2，ZG(jの)=45;0=8时，|G(jの)=80，ZG(jの)=90°。当の从0→8变化时，G(j)的幅值由1→8，其相位Im由0-→90°。一阶微分环节频率特性的Nyquist图始于点（1,j0），平行于虚轴，是在第一象限的一条垂线，如图5.10[G(Gja)]所示。0-06.振荡环节Re(1.jo)Z GGja)因振荡环节的传递函数图5.10一阶微分环节的Nyquist图1o2X,(s)G(s) =X,(s) T2s? +2Ts+1 s?+2E0,s+1式中，①故振荡环节的频率特性为To.1(0<<1)G(jo)=-0+0+j250,00j2E0o2On令0/0=，得1 2121G(jo)=(-）+j2（1-+4(1-+41- 2225因此，该环节的实频特性为虚频特性为(1-）+4(1-)+412元幅频特性|G(jの)/，相频特性ZG(jo)=-arctan1-22-+4当=0，即の=0时，G(j)=1，ZG(jの)=0：F1当=1，即の=0时，IG(j)ZG(j@)=-90°;25当=80，即@=8时，G(j0)=0，/G(j)=-180°。当①从0→80（即从0-→8）时，G(jの）的幅值由1-0，其相位由0→-180°。振荡环节频率特性的Nyquist图始于点（1.jo），终于点（0.jo），曲线和虚轴交点的频率就是无阻尼固有频率，此时的幅值是六曲线在第三、四象限，如图5.11（a）所示，取值不同，G(jの）25的Nyquist图的形状也不同，如图5.12所示。当阻尼比<0.707时，幅频特性G(j@)在频率为（或频率比入=@,/@）处出现峰值，如图5.11（b）所示。此峰值称谐振峰值，对应的频率@,称谐振频率。@可用如下方法求得：118
118 =1/ T 时，| G(j ) |= 2 ，∠ G(j ) = 45 °； =∞时，| G(j ) |=∞，∠ G(j ) = 90 °。 当 从 0→∞变化时， G(j ) 的幅值由 1→∞，其相位 由 0→ 90 °。一阶微分环节频率特性的 Nyquist 图始于点 （ 1, j0 ），平行于虚轴，是在第一象限的一条垂线，如图 5.10 所示。 6．振荡环节 因振荡环节的传递函数 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 1 2 o n i n n X s G s X s T s Ts s s = = = + + + + 式中， 1 n T = ，故振荡环节的频率特性为 G(j ) = 2 2 2 2 2 1 j2 1 j2 n n n n n = − + + − + （0< <1） 令 / n = ，得 G(j ) = 2 1 (1 ) j2 − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 j (1 ) 4 (1 ) 4 − − − + − + 因此，该环节的实频特性为 2 2 2 2 2 1 (1 ) 4 − − + ，虚频特性为 2 2 2 2 2 (1 ) 4 − − + ； 幅频特性| G(j ) |= 2 2 2 2 1 (1 ) 4 − + ，相频特性 G(j ) = 2 2 arctan 1 − − 。 当 =0，即 =0 时，| G(j ) |=1，∠ G(j ) =0； 当 =1，即 =n 时，| G(j ) |= 1 2 ，∠ G(j ) = −90 °； 当 =∞，即 =∞时，| G(j ) |=0，∠ G(j ) = −180 °。 当 从 0→∞（即 从 0→∞）时， G(j ) 的幅值由 1→0，其相位由 0→−180 °。振荡环 节频率特性的 Nyquist 图始于点（ 1, j0 ），终于点（ 0, j0 ），曲线和虚轴交点的频率就是无阻尼 固有频率，此时的幅值是 1 2 ，曲线在第三、四象限，如图 5.11（a）所示， 取值不同， G(j ) 的 Nyquist 图的形状也不同，如图 5.12 所示。 当阻尼比 <0.707 时，幅频特性| G(j ) |在频率为 r （或频率比 / r r n = ）处出现峰值， 如图 5.11（b）所示。此峰值称谐振峰值，对应的频率 r 称谐振频率。 r 可用如下方法求得： 图 5.10 一阶微分环节的Nyquist图
第5章系统频率响应分析a|G(jo)由=0an得2,=/1-2岁20,=0. y1-2g2或1从而可得[G(jo,)| =25J1-52Y1-2gZG(jo,)=-arctan5当阻尼比≥0.707时，一般认为0不再存在。Im(l,jo)0=000IGG)Re0=0GGa)G(ja,)RC0he(b)(a)图5.11振荡环节的Nyquist图及其幅频图Im0=0000=0Re00551e51>>5>图5.122振荡环节不同取值的Nyquist图119
119 由 | (j ) | 0 r G = = 得 r = 2 1 2 − 或 r =n 2 1 2 − 从而可得 2 1 (j ) 2 1 G r = − 2 1-2 (j ) arctan G r = − 当阻尼比 ≥0.707 时，一般认为 r 不再存在。 图 5.11 振荡环节的 Nyquist 图及其幅频图 图 5.12 振荡环节不同取值的 Nyquist 图