第3章系统的数学模型学习要点熟练掌握系统各种数学模型如微分方程、传递承数的建立方法以及它们之间的相互转换，掌握系统方框图的求取方法以及它们之间的相互关系。在控制系统的分析和设计中，不仅要定性地了解系统的工作原理及其特性，更重要的是需要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。在分析和设计任何一个控制系统时，最首要的任务是建立系统的数学模型。因此，控制系统数学模型既是分析控制系统的基础，又是综合设计控制系统的依据。描述系统的输入、输出变量以及系统内部各变量（物理量）之间关系的数学表达式称为系统的数学模型，各变量间的关系通常用微分方程等数学表达式来描述。描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型，通常用各变量的各阶导数之间关系的微分方程来描述：而描述各变量之间关系的代数方程叫静态数学模型，这时变量各阶导数为零。建立控制系统数学模型的方法主要有分析法和实验法两种。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程，从而建立系统的数学模型。例如，电网络中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律以及能量守恒定律等。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近这种方法称为系统辨识。近几年来，系统辩识已发展成一门独立的学科分支，本章将介绍用分析法建立系统数学模型的方法。在控制理论中，数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；频域中有频率特性；复频域中有传递函数、方框图等，其数学基础为傅里叶变换与拉普拉斯变换。本章将讨论微分方程、传递函数和方框图等数学模型的建立和应用，当系统的数学模型能用线性微分方程来描述时，该系统称为线性系统。如果微分方程的系数为常数，称该系统为线性定常系统。若考虑系统的非线性因素，这时系统的数学模型只能用非线性微分方程来描述，所对应的系统称为非线性系统。对于线性系统可以运用叠加原理。当有几个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输出，然后根据线性系统叠加原理，把各个输出进行叠加，即可求得系统的总输出。非线性系统则不能应用叠加原理。对于非线性系统的分析与设计，目前还没有一个通用的37
37 第 3 章 系统的数学模型 熟练掌握系统各种数学模型如微分方程、传递函数的建立方法，以及它们之间的 相互转换，掌握系统方框图的求取方法以及它们之间的相互关系。 在控制系统的分析和设计中，不仅要定性地了解系统的工作原理及其特性，更重要的是需 要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。在分析和设计 任何一个控制系统时，最首要的任务是建立系统的数学模型。因此，控制系统数学模型既是分 析控制系统的基础，又是综合设计控制系统的依据。 描述系统的输入、输出变量以及系统内部各变量（物理量）之间关系的数学表达式称为系 统的数学模型，各变量间的关系通常用微分方程等数学表达式来描述。描述各变量动态关系的 表达式称为动态数学模型，通常用各变量的各阶导数之间关系的微分方程来描述；而描述各变 量之间关系的代数方程叫静态数学模型，这时变量各阶导数为零。 建立控制系统数学模型的方法主要有分析法和实验法两种。 分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别 列写相应的运动方程，从而建立系统的数学模型。例如，电网络中有基尔霍夫定律，力学中有 牛顿定律，热力学中有热力学定律以及能量守恒定律等。 实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近， 这种方法称为系统辨识。近几年来，系统辩识已发展成一门独立的学科分支，本章将介绍用分 析法建立系统数学模型的方法。 在控制理论中，数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状 态方程；频域中有频率特性；复频域中有传递函数、方框图等，其数学基础为傅里叶变换与拉 普拉斯变换。本章将讨论微分方程、传递函数和方框图等数学模型的建立和应用， 当系统的数学模型能用线性微分方程来描述时，该系统称为线性系统。如果微分方程的系 数为常数，称该系统为线性定常系统。若考虑系统的非线性因素，这时系统的数学模型只能用 非线性微分方程来描述，所对应的系统称为非线性系统。 对于线性系统可以运用叠加原理。当有几个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求 出对应的输出，然后根据线性系统叠加原理，把各个输出进行叠加，即可求得系统的总输出。 非线性系统则不能应用叠加原理。对于非线性系统的分析与设计，目前还没有一个通用的 学习要点
机械控制工程基础理论和方法。由于非线性微分方程尚没有一个普遍的求解方法，其理论也不完善，因此，分析非线性系统要根据系统的不同特点选择不同的分析方法。本章将针对线性定常系统，讨论在机械控制工程中如何列写线性定常系统的输入输出微分方程；介绍线性定常系统的传递函数的定义与概念，以及典型线性环节的传递函数及其特性：然后介绍系统传递函数的方框图与简化方法。3.1系统的微分方程经典控制理论所采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。3.1.1建立微分方程的基本步骤要建立一个控制系统的微分方程，首先必须了解整个系统的组成结构和工作原理，然后根据系统（或各组成元件）所遵循的运动规律和物理定律，列写出整个系统的输出变量与输入变量之间的动态关系表达式，即微分方程。列写微分方程的一般步骤如下。①确定系统或各组成元件的输入、输出量。分析系统和各组成元件的组成结构和工作原理，找出各物理量（变量）之间的关系。对于系统的给定输入量或干扰输入量都是系统的输入量，而系统的被控制量则是系统的输出量。对于一个环节或元件而言，应按系统信号的传递情况来确定输入和输出量。②按照信号在系统中的传递顺序，从系统输入端开始，根据各变量所遵循的运动规律和物理定律（如电网络中的基尔霍夫定律，力学中的牛顿定律，热力系统的热力学定律以及能量守恒定律等），列写出信号在传递过程中各环节的动态微分方程，一般为一个微分方程组。③按照系统的工作条件，忽略一些次要因素，对已建立的原始动态微分方程进行数学处理，如简化原始动态微分方程、对非线性项进行线性化处理等。并考虑相邻元件间是否存在负载效应。④消除所列动态微分方程的中间变量，得到描述系统的输入、输出量之间关系的微分方程。③整理所得的微分方程。一般将与输出量有关的各项放在微分方程等号的左端，与输入量有关的各项放在微分方程等号的右端，并且各阶导数项按降幂排列，即标准化。如果系统中包含非本质非线性的元件或环节，为了研究的方便，通常可将其进行线性化。非线性系统线性化的方法是将变量的非线性函数在系统某一工作点（或称为平衡点）附近展开成泰勒级数，分解成这些变量在该工作点附近的微增量表达式，然后略去高于一阶增量的项并将其写成增量坐标表示的微分方程。控制系统按照其系统的属性可以分为机械系统、电气系统、液压系统、气动系统和热力系统等。工程中的一些复杂系统，常常是这些系统的综合。本章将重点介绍机械系统、电气系统和机电系统的数学模型。38
38 理论和方法。由于非线性微分方程尚没有一个普遍的求解方法，其理论也不完善，因此，分析 非线性系统要根据系统的不同特点选择不同的分析方法。 本章将针对线性定常系统，讨论在机械控制工程中如何列写线性定常系统的输入输出微分 方程；介绍线性定常系统的传递函数的定义与概念，以及典型线性环节的传递函数及其特性； 然后介绍系统传递函数的方框图与简化方法。 3.1 系统的微分方程 经典控制理论所采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型 主要以状态空间方程为基础。以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模 型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。 要建立一个控制系统的微分方程，首先必须了解整个系统的组成结构和工作原理，然后根 据系统（或各组成元件）所遵循的运动规律和物理定律，列写出整个系统的输出变量与输入变 量之间的动态关系表达式，即微分方程。列写微分方程的一般步骤如下。 ① 确定系统或各组成元件的输入、输出量。分析系统和各组成元件的组成结构和工作原 理，找出各物理量（变量）之间的关系。对于系统的给定输入量或干扰输入量都是系统的输入 量，而系统的被控制量则是系统的输出量。对于一个环节或元件而言，应按系统信号的传递情 况来确定输入和输出量。 ② 按照信号在系统中的传递顺序，从系统输入端开始，根据各变量所遵循的运动规律 和物理定律（如电网络中的基尔霍夫定律，力学中的牛顿定律，热力系统的热力学定律以 及能量守恒定律等），列写出信号在传递过程中各环节的动态微分方程，一般为一个微分方 程组。 ③ 按照系统的工作条件，忽略一些次要因素，对已建立的原始动态微分方程进行数学处 理，如简化原始动态微分方程、对非线性项进行线性化处理等。并考虑相邻元件间是否存在负 载效应。 ④ 消除所列动态微分方程的中间变量，得到描述系统的输入、输出量之间关系的微分方 程。 ⑤ 整理所得的微分方程。一般将与输出量有关的各项放在微分方程等号的左端，与输入 量有关的各项放在微分方程等号的右端，并且各阶导数项按降幂排列，即标准化。 如果系统中包含非本质非线性的元件或环节，为了研究的方便，通常可将其进行线性化。 非线性系统线性化的方法是将变量的非线性函数在系统某一工作点（或称为平衡点）附近展开 成泰勒级数，分解成这些变量在该工作点附近的微增量表达式，然后略去高于一阶增量的项， 并将其写成增量坐标表示的微分方程。 控制系统按照其系统的属性可以分为机械系统、电气系统、液压系统、气动系统和热力系 统等。工程中的一些复杂系统，常常是这些系统的综合。本章将重点介绍机械系统、电气系统 和机电系统的数学模型
第3章系统的数学模型3.1.2机械系统的微分方程机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些部件具有较大的惯性和刚度而另一些部件则惯性较小、柔性较大。在利用集中参数法中，我们将前一类部件的弹性忽略将其视为质量块：而把后一类部件的惯性忽略，将其视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量一弹簧一阻尼系统。因此，对机械系统而言，只要通过一定的简化，都可以抽象为质量一弹簧一阻尼系统及其综合。在抽象为质量一弹簧一阻尼系统的机械系统中，牛顿第二定律是机械系统所必须遵循的基本定律，通过牛顿第二定律将机械系统中的运动（位移、速度和加速度）与力联系起来，建立机械系统的动力学方程，即机械系统的微分方程。因此，牛顿第二定律可以应用于任何机械系统中。下面将举例介绍建立机械系统微分方程的步骤和方法。【例3.1】如图3.1（a）所示的组合机床动力滑台铣平面时的情况。当切削力f(t)变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量和精度。为了分析这个系统，首先将动力滑台连同铣刀抽象成如图3.1（b）所示的质量一弹簧一阻尼系统的力学模型（其中，m为受控质量：k为弹性刚度；c为粘性阻尼系数：yo(t)为输出位移）。根据牛顿第二定律F=ma，可得d'y.(t)cdy.(0)-ky,()=mf()-dtdt?将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列得d'y.(@+cd@+ky,()= f(t)mdt?dt上式就是组合机床动力滑台铣平面时的机械系统的数学模型，即微分方程。工件10(0)电o(t)fAI动力滑台fi(b)(a)图3.1组合机床动力滑台及其动力学模型【例3.2】如图3.2（a）所示的机械位移系统。它由弹簧K、质量块m、阻尼器c所组成。试写出在外力F()的作用下，质量块m的位移x(t)的运动方程。解：在本题中的输入变量为外力F(t)，输出变量为质量块m的位移x(t)，受控对象为质量块m。因此，取质量块m对其进行受力分析，作用在质量块m上的力有外力F(t)；弹簧的39
39 机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些部件具有较大的惯性和刚度， 而另一些部件则惯性较小、柔性较大。在利用集中参数法中，我们将前一类部件的弹性忽略， 将其视为质量块；而把后一类部件的惯性忽略，将其视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械 系统可抽象为质量—弹簧—阻尼系统。因此，对机械系统而言，只要通过一定的简化，都可以 抽象为质量—弹簧—阻尼系统及其综合。 在抽象为质量—弹簧—阻尼系统的机械系统中，牛顿第二定律是机械系统所必须遵循的基 本定律，通过牛顿第二定律将机械系统中的运动（位移、速度和加速度）与力联系起来， 建 立机械系统的动力学方程，即机械系统的微分方程。因此，牛顿第二定律可以应用于任何机械 系统中。 下面将举例介绍建立机械系统微分方程的步骤和方法。 【例 3.1】 如图 3.1（a）所示的组合机床动力滑台铣平面时的情况。当切削力 fi(t)变化时， 滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量和精度。为了分析这个系统，首先将动力 滑台连同铣刀抽象成如图 3.1（b）所示的质量—弹簧—阻尼系统的力学模型（其中，m 为受控 质量；k 为弹性刚度；c 为粘性阻尼系数；yo(t)为输出位移）。根据牛顿第二定律 F ma = ， 可得 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d o o i o y t y t f t c ky t m t t − − = 将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列， 得 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d o o o i y t y t m c ky t f t t t + + = 上式就是组合机床动力滑台铣平面时的机械系统的数学模型，即微分方程。 图 3.1 组合机床动力滑台及其动力学模型 【例 3.2】 如图 3.2（a）所示的机械位移系统。它由弹簧 K、质量块 m、阻尼器 c 所组成。 试写出在外力 Ft() 的作用下，质量块 m 的位移 xt() 的运动方程。 解 在本题中的输入变量为外力 Ft() ，输出变量为质量块 m 的位移 xt() ，受控对象为质 量块 m。因此，取质量块 m 对其进行受力分析，作用在质量块 m 上的力有外力 Ft() ；弹簧的 工件 动力滑台 （a） （b） yo(t) c fi(t) yo(t) k c m fi(t)
机械控制工程基础dx(t)其方向与位移x(t)的方弹力Kx()，其方向与位移x(t)的方向相反：阻尼器的阻尼力cdt向相反：如图3.2（b）所示。F(C)F(0)((t)dx()dr(b)图3.2机械位移系统由牛顿第二定律得d'x(t)dx(l)_ Kx(t)=mF(t)-cdt?dt将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列，得d'x(t)dx() + Kx(t)= F(t)hdt?dtc1令T=Jm/K，2T=c/K，即E=k则上式可写成K2/mkT2 d'x(0)dx(t)+ x(t)= kF(0)(3.1)22dt?dt式中，T称为时间常数，单位为秒，为阻尼比。显然上式描述的质量块m的位移x(t)的运动方程是一个二阶线性定常微分方程。【例3.3】试列写如图3.3a所示的齿轮系的运动方程。图中齿轮1和齿轮2的转速、齿数和半径分别用の、、和の，、，、r表示：其黏性摩擦系数及转动惯量分别是f、J和f、J,：齿轮1和齿轮2的原动转矩及负载转矩分别是Mm、M,和M、M。。zI,MLLf277777o.MTTTIM2, M图3.3齿轮系40
40 弹力 Kx t() ，其方向与位移 xt() 的方向相反；阻尼器的阻尼力 t x t c d d ( ) ，其方向与位移 xt() 的方 向相反；如图 3.2（b）所示。 图 3.2 机械位移系统 由牛顿第二定律得 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d x t x t F t c Kx t m t t − − = 将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列， 得 2 2 d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d x t x t m c Kx t F t t t + + = 令 T m K = ， 2T c K = ，即 mk c 2 = 。 1 k K = ，则上式可写成 2 2 2 d ( ) d ( ) 2 ( ) ( ) d d x t x t T T x t kF t t t + + = （3.1） 式中，T 称为时间常数，单位为秒， 为阻尼比。显然上式描述的质量块 m 的位移 xt() 的运动 方程是一个二阶线性定常微分方程。 【例 3.3】 试列写如图 3.3a 所示的齿轮系的运动方程。图中齿轮 1 和齿轮 2 的转速、齿 数和半径分别用 1 、 1 z 、 1 r 和 2 、 2 z 、 2 r 表示；其黏性摩擦系数及转动惯量分别是 1 f 、 1 J 和 2 f 、 2 J ；齿轮 1 和齿轮 2 的原动转矩及负载转矩分别是 M m 、 M1 和 M 2 、 M c 。 图 3.3 齿轮系 F(t) K m x(t) c （a） （b） F(t) m Kx(t) d ( ) d xt c t x(t) 1, Mm J1 f1 z1, M1 z2, M2 2 J2 f2 Mc
第3章系统的数学模型解：机械系统中的执行元件与负载之间往往通过齿轮系进行运动和动力的传递，以便实现调速和增大力矩的目的。在齿轮传动中，两个合齿轮的线速度相同，传送的功率亦相同，因此M,o, = M,0,or=or2又因为齿数与半径成正比，即4_3r=2可得0=,M=M22272根据力学中定轴转动的动静法，可分别写出齿轮1和齿轮2的运动方程为 do + f,o + M, = MmLdtdo + f.o, +M,= M.Jdt消去中间变量02、M,、M，可得M.-[+()][r(e)aa+M()令)，=++(),M=M(J=J.则得齿轮系微分方程为Jdo + fo +M=M.dt式中，J、f和M分别是折合到齿轮1的等效转动惯量、等效黏性摩擦系数和等效负载转矩。显然，折算的等效值与齿轮系的速比有关，速比越大，即z2/z值越大，折算的等效值越小。如果齿轮系速比足够大，则后级齿轮及负载的影响使可以不予考虑。【例3.4】图3.4（a）表示了一个汽车悬浮系统的原理图，试求汽车在行驶过程中的数学模型。解：当汽车沿着道路行驶时，轮胎的垂直位移x（)作为一种运动激励作用在汽车的悬浮系统上。该系统的运动由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动所组成。建立该系统的数学模型是相当复杂的。图3.4（b）表示了经简化后的悬浮系统。这时，P点上的垂直位移x（t)为系统的输入量，41
41 解 机械系统中的执行元件与负载之间往往通过齿轮系进行运动和动力的传递，以便实 现调速和增大力矩的目的。在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率亦相 同，因此 M M 1 1 2 2 = 1 1 2 2 r r = 又因为齿数与半径成正比，即 1 1 2 2 r z r z = 可得 1 2 1 2 z z = ， 2 2 1 1 M z z M = 根据力学中定轴转动的动静法，可分别写出齿轮 1 和齿轮 2 的运动方程为 1 1 1 1 1 d d m J f M M t + + = 2 2 2 2 2 d d c J f M M t + + = 消去中间变量 2 、 M1 、 M 2 ，可得 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 d d m c z z z M J J f f M z t z z = + + + + 令 2 1 1 2 2 z J J J z = + ， 2 1 1 2 2 z f f f z = + ， 1 2 c z M M z = 则得齿轮系微分方程为 1 1 d d m J f M M t + + = 式中，J、f 和 M 分别是折合到齿轮 1 的等效转动惯量、等效黏性摩擦系数和等效负载转矩。 显然，折算的等效值与齿轮系的速比有关，速比越大，即 z2/z1 值越大，折算的等效值越小。 如果齿轮系速比足够大，则后级齿轮及负载的影响使可以不予考虑。 【例 3.4】 图 3.4（a）表示了一个汽车悬浮系统的原理图，试求汽车在行驶过程中的数 学模型。 解 当汽车沿着道路行驶时，轮胎的垂直位移 () i x t 作为一种运动激励作用在汽车的悬浮 系统上。该系统的运动由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动所组成。建立该系统的数学模 型是相当复杂的。 图 3.4（b）表示了经简化后的悬浮系统。这时，P 点上的垂直位移 () i x t 为系统的输入量