第6章系统稳定性分析学习要点了解系统稳定性的定义、系统稳定的充要条件：掌握劳斯判据的必要条件和充要条件，学会应用劳斯判据评定系统是否稳定，对于不稳定的系统，能够指出系统包含不稳定特征根的个数掌握Nyquist稳定判据理解Nyquist图和Bode图之间的关系，掌握Bode稳定判据；理解系统相对稳定性的概念，掌握相位裕度和幅值裕度的定义及求法，并能在Nyquist图和Bode图上表示。稳定是控制系统正常工作的首要条件，也是控制系统的重要性能指标之一。分析系统的稳定性是经典控制理论的重要组成部分。经典控制理论对判断一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。本章首先介绍线性定常系统稳定性的基本概念和条件，然后重点讨论劳斯稳定判据Nyquist稳定判据和Bode稳定判据，最后介绍系统的相对稳定性及其表示形式。6.1系统稳定的概念和条件1.系统稳定的基本概念如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称系统是不稳定的。稳定性反映于扰消失后过渡过程的性质，是系统自身的一种恢复能力，它是系统的固有特性。这种固有特性只与系统的结构参数有关，而与输入无关。这样，干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看做是系统的初始偏差。因此，系统的稳定性可以定义如下：若控制系统在初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，则称系统为稳定。否则，系统称为不稳定。145
145 第 6 章 系统稳定性分析 了解系统稳定性的定义、系统稳定的充要条件；掌握劳斯判据的必要条件和充要 条件，学会应用劳斯判据评定系统是否稳定，对于不稳定的系统，能够指出系统包含 不稳定特征根的个数；掌握 Nyquist 稳定判据；理解 Nyquist 图和 Bode 图之间的关系， 掌握 Bode 稳定判据；理解系统相对稳定性的概念，掌握相位裕度和幅值裕度的定义 及求法，并能在 Nyquist 图和 Bode 图上表示。 稳定是控制系统正常工作的首要条件，也是控制系统的重要性能指标之一。分析系统的稳 定性是经典控制理论的重要组成部分。经典控制理论对判断一个线性定常系统是否稳定提供了 多种方法。本章首先介绍线性定常系统稳定性的基本概念和条件，然后重点讨论劳斯稳定判据、 Nyquist 稳定判据和 Bode 稳定判据，最后介绍系统的相对稳定性及其表示形式。 6.1 系统稳定的概念和条件 1．系统稳定的基本概念 如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能逐渐恢 复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称系统是不稳定的。 稳定性反映干扰消失后过渡过程的性质，是系统自身的一种恢复能力，它是系统的固有特 性。这种固有特性只与系统的结构参数有关，而与输入无关。这样，干扰消失的时刻，系统与 平衡状态的偏差可以看做是系统的初始偏差。因此，系统的稳定性可以定义如下：若控制系统 在初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，则称系统为稳定。否 则，系统称为不稳定。 学习要点
机械控制工程基础2.系统稳定的充分必要条件设线性定常系统的微分方程为d"dn-d-(()a. dr-()+a.--d-d"ddr+x()++b =6(6.1)(n≥m)x(t)+bmx(t)+bx(t)"dimd对上式进行拉氏变换，得M(S) x(s)+N(s)(6.2)X。(s)=D(s)D(s)式中，M(s)=bms" +bm--sm- +...+bs+bD(s)=a,s" +an--s"I +..+as+aoM()=G(S)为系统的传递函数；N(s)是与初始条件有关的s多项式。D(s)根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的时间响应（即零输入响应），取X（s)=0，得到N(s)X。(s)=D(s)若si为系统特征方程D(s)=0的根（即系统传递函数的极点，=1，2，..，n），且si各不相同时，有[N(s)ZAew(0)= L-[X (s)] = L-I(6.3)[D(s)1=1式中，A是与初始条件有关的系数。若系统所有特征根s的实部Re[s<O，则零输入响应随着时间的增长将衰减到零，即limx (t) =0此时系统是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随着时间的增长而发散，即limx,(t) = 0此时系统是不稳定的。若系统的特征根具有重根时，只要满足Re[si]<0，有limx(t)=0，系统就是稳定的。由此可见，系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根全部具有负实部。系统的特征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传递函数的极点全部位于[S]平面的左半平面。若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位于原点，其余极点均位于[s]平面的左半平面，则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处于临界稳定状态。由于临界稳定状态146
146 2．系统稳定的充分必要条件 设线性定常系统的微分方程为 1 1 1 0 1 d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d n n n o n o o o n n a x t a x t a x t a x t t t t − − − + + + + 1 1 1 0 1 d d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d m m m i m i i i m m b x t b x t b x t b x t t t t − − − = + + + + （n≥m） （6.1） 对上式进行拉氏变换，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o i M s N s X s X s D s D s = + （6.2） 式中， 1 1 1 0 ( ) m m M s b s b s b s b m m − = + + + + − 1 1 1 0 ( ) n n D s a s a s a s a n n − = + + + + − ( ) ( ) ( ) M s G s D s ＝ 为系统的传递函数；N(s)是与初始条件有关的 s 多项式。 根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的时间响应（即零输入响应），取 ( ) 0 X s i ＝ ,得到 ( ) ( ) ( ) o N s X s D s = 若 si 为系统特征方程 D(s)=0 的根（即系统传递函数的极点，i=1，2，.，n），且 si 各不 相同时，有 1 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) i n s t o o i i N s x t L X s L Ae D s − − = = = = （6.3） 式中，Ai 是与初始条件有关的系数。 若系统所有特征根 si 的实部 Re[si]<0，则零输入响应随着时间的增长将衰减到零，即 lim ( ) 0 o t x t = →∞ 此时系统是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随着时间的 增长而发散，即 lim ( ) o t x t = →∞ ∞ 此时系统是不稳定的。 若系统的特征根具有重根时，只要满足 Re[si]<0，有 lim ( ) 0 o t x t = →∞ ，系统就是稳定的。 由此可见，系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根全部具有负实部。系统的特征 根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传 递函数的极点全部位于[s]平面的左半平面。 若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位于原点，其余极点均位于[s]平面的左半 平面，则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处于临界稳定状态。由于临界稳定状态
第6章系统稳定性分析往往会导致系统的不稳定，因此，临界稳定系统属于不稳定系统。6.2劳斯（Routh）稳定判据线性定常系统稳定的充分必要条件是系统的特征根全部具有负实部。为此，要判断系统的稳定性，就要求解系统的特征根，看这些根是否具有负实部。但当系统的阶数高于4阶时，求解特征根比较困难。为了避免对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，以此来判断系统的稳定性，由此产生了一系列稳定性判据。其中最主要的一个判据就是1884年由E.J.Routh提出的劳斯（Routh）判据。劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程式根与系数的关系建立的，通过对系统特征方程式的各项系数进行代数运算，得出全部特征根具有负实部的条件，以此来判断系统的稳定性。6.2.1系统稳定的必要条件设系统的特征方程为D(s)=a,s"+a-"+..+as+a =0s"+a-+ s"-++..+α+$+ao(6.4)=a,(s-s,)(s-s2)-(s-s,)=0Fa.a.ana,式中，S1，S2，，Sn为系统的特征根。由根与系统的关系可求得-+=-(s+ +$, +.+ $t)an-2=+(s$ +$s ++$e--s.)a.(6.5)* =-(5s, + $52+ +.+$u-2n-s.)a.....=(-1)"(ss*"s.)an从式（6.5）可知，要使全部特征根s1，S2，*，Sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件：①特征方程的各项系数a（=0，1，2，..，n）都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（6.5）中各式，此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根具有正实部）。②特征方程的各项系数a的符号都相同，才能满足式（6.5）中各式。按习惯，an一般取正值，因此上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即α>0。但这只是一个必要条件即使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。147
147 往往会导致系统的不稳定，因此，临界稳定系统属于不稳定系统。 6.2 劳斯 Routh 稳定判据 线性定常系统稳定的充分必要条件是系统的特征根全部具有负实部。为此，要判断系统的 稳定性，就要求解系统的特征根，看这些根是否具有负实部。但当系统的阶数高于 4 阶时，求 解特征根比较困难。为了避免对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其是否全部具 有负实部，以此来判断系统的稳定性，由此产生了一系列稳定性判据。其中最主要的一个判据 就是 1884 年由 E. J. Routh 提出的劳斯（Routh）判据。 劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程式根与系数的关系建立的，通过对系统特征方 程式的各项系数进行代数运算，得出全部特征根具有负实部的条件，以此来判断系统的稳定性。 设系统的特征方程为 1 1 1 0 ( ) 0 n n D s a s a s a s a n n − = + + + + = − 1 0 1 1 1 2 ( )( ) ( ) 0 n n n n n n n n n a a a a s s s a s s s s s s a a a − − = + + + + − − − = ＝ （6.4） 式中，s1，s2，.，sn 为系统的特征根。 由根与系统的关系可求得 1 1 2 2 1 2 1 3 1 3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n a s s s a a s s s s s s a a s s s s s s s s s a a s s s a − − − − − − − + − − + + + + + + + + + ＝ ＝ ＝ ＝ （6.5） 从式（6.5）可知，要使全部特征根 s1，s2，.，sn 均具有负实部，就必须满足以下两个条 件： ① 特征方程的各项系数 ai（i=0，1，2，.，n）都不等于零。因为若有一个系数为零， 则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（6.5）中各式，此时系统 为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根具有正实部）。 ② 特征方程的各项系数 ai 的符号都相同，才能满足式（6.5）中各式。按习惯，an 一般取 正值，因此上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即 ai>0。但这只是一个必要条件， 即使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件
机械控制工程基础6.2.2系统稳定的充要条件设系统的特征方程为D(s)=a.s"+a.s-+...+as+a.=0将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表snan-2an-4an-6.SAan-an-3ansan-75AAAA.B,B2B,B4sh-3目...：:..3D,D,sE,s0Fa.a,ana表中，Aan-iAg1ap-1a.-AAAAAABB,B4AA每一行的元素计算到零为止。用同样的方法，求取表中其余行的元素，一直到第n+1行排完为止。劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。劳斯稳定判据还指出：劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如下简单形式，以便于应用。①二阶系统（n=2)，特征方程为D(s)=as2+as+α=0，劳斯表为sa2as1a50a根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是：(6.6)az>0，ai>0，ao>0②三阶系统（n=3)，特征方程为D(s)=a,s+a,s?+as+a=0，劳斯表为148
148 设系统的特征方程为 1 1 1 0 ( ) 0 n n D s a s a s a s a n n − = + + + + = − 将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表 2 4 6 1 1 3 5 7 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 2 1 2 1 1 0 1 n n n n n n n n n n n n s a a a a s a a a a s A A A A s B B B B s D D s E s F − − − − − − − − − − 表中， 2 1 3 1 1 n n n n n a a a a A a − − − − − = ， 4 1 5 2 1 n n n n n a a a a A a − − − − − = ， 6 1 7 3 1 n n n n n a a a a A a − − − − − = ，. 1 3 1 2 1 1 n n a a A A B A − − − = ， 1 5 1 3 2 1 n n a a A A B A − − − = ， 1 7 1 4 3 1 n n a a A A B A − − − = ，. 每一行的元素计算到零为止。用同样的方法，求取表中其余行的元素，一直到第 n+1 行 排完为止。 劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为 零。 劳斯稳定判据还指出：劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实 部特征根的个数。 对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如下简单形式，以便于应用。 ① 二阶系统（n=2），特征方程为 2 2 1 0 D s a s a s a ( ) 0 = + + = ，劳斯表为 2 2 0 1 1 0 0 s a a s a s a 根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是： a2>0，a1>0，a0>0 （6.6） ② 三阶系统（n=3），特征方程为 3 2 3 2 1 0 D s a s a s a s a ( ) 0 = + + + = ，劳斯表为
第6章系统稳定性分析a;a,53a2ao3aa,-aao0Sa2500ao由劳斯判据，三阶系统稳定的充要条件为：(6.7)a3>0,az>0,ai>0,ao>0,aia2>aoa3【例6.1】例4.2所示系统的特征方程为D(s)= s2 + 7.69s +42.3 = 0试用劳斯判据判别该系统的稳定性。解：已知a2=1，ai=7.69，ao=42.3，各项系数均大于0，由二阶系统劳斯判据式（6.6）知，该系统稳定。【例6.2】已知反馈控制系统的特征方程为D(s)=s +5Ks? +(2K +3)s+10=0试确定使该系统稳定的K值。解：根据特征方程的各项系数，列出劳斯表12K+355K10s22K2+3K-2s'0Ks0100由劳斯判据可知，若系统稳定，牛特征方程各项系数必须大于0，且劳斯表中第一列的系数均为正值。据此得5K>02K+3>02K2+3K-20K解得K>0.5即为所求。【例6.3】设系统的特征方程为D(s)= s* +2s* + 3s2 + 4s +3=0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：由特征方程的各项系数可知，系统已满足稳定的必要条件。列劳斯表149
149 3 3 1 2 2 0 1 2 1 3 0 2 0 0 0 0 a a s a a s a a a a s a s a − 由劳斯判据，三阶系统稳定的充要条件为： a3>0，a2>0，a1>0，a0>0，a1a2>a0a3 （6.7） 【例 6.1】 例 4.2 所示系统的特征方程为 2 D s s s ( ) 7.69 42.3 0 = + + = 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解 已知 a2=1，a1=7.69，a0=42.3，各项系数均大于 0，由二阶系统劳斯判据式（6.6）知， 该系统稳定。 【例 6.2】 已知反馈控制系统的特征方程为 3 2 D s s Ks K s ( ) 5 (2 3) 10 0 = + + + + = 试确定使该系统稳定的 K 值。 解 根据特征方程的各项系数，列出劳斯表 3 2 2 1 0 1 2 3 5 10 2 3 2 0 10 0 K s K s K K s K s + + − 由劳斯判据可知，若系统稳定，特征方程各项系数必须大于 0，且劳斯表中第一列的系数 均为正值。据此得 2 5 0 2 3 0 2 3 2 0 K K K K K + + − 解得 K>0.5 即为所求。 【例 6.3】 设系统的特征方程为 4 3 2 D s s s s s ( ) 2 3 4 3 0 = + + + + = 试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解 由特征方程的各项系数可知，系统已满足稳定的必要条件。列劳斯表