《机械控制工程基础》课程授课教案（讲稿）第05章 系统频率响应分析

第5章系统频率响应分析学习要点了解频率响应及频率特性的概念、特点以及频率特性与传递函数的关系；了解最小相位系统与非最小相位系统的概念熟悉典型环节的Nyquist图和Bode图；掌握控制系统的Nyquist图和Bode图的一般绘制方法。时域法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是，如果不借助计算机，分析高阶系统就比较困难。因此需要发展其他一些方法来分析控制系统，其中频率响应分析就是工程上经常采用的分析和研究系统的一种间接方法。频率响应分析是经典控制理论中研究和分析系统特性的主要方法。利用此方法，可以将传递函数从复域引到具有明确物理概念的频域来分析。5.1频率特性概述5.1.1频率特性的概念1.频率响应线性定常系统对正弦输入的稳态响应称频率响应。对于如图5.1所示的线性定常系统，假设系统是稳定的，若对其输入一正弦信号x:()=Xisinot根据微分方程解的理论，则系统稳态输出信号为xo(t)=X(0)sin[ot+p(0))X(0)Xo(0)G(s)图5.1线性定常系统该信号也是一个正弦信号，其频率与输入信号相同，但幅值和相位发生了变化，如图5.2所示。现设系统的传递函数为110

110 第 5 章 系统频率响应分析 了解频率响应及频率特性的概念、特点以及频率特性与传递函数的关系；了解最 小相位系统与非最小相位系统的概念；熟悉典型环节的 Nyquist 图和 Bode 图；掌握 控制系统的 Nyquist 图和 Bode 图的一般绘制方法。 时域法是分析控制系统的直接方法，比较直观。但是，如果不借助计算机，分析高阶系统 就比较困难。因此需要发展其他一些方法来分析控制系统，其中频率响应分析就是工程上经常 采用的分析和研究系统的一种间接方法。频率响应分析是经典控制理论中研究和分析系统特性 的主要方法。利用此方法，可以将传递函数从复域引到具有明确物理概念的频域来分析。 5.1 频率特性概述 1．频率响应 线性定常系统对正弦输入的稳态响应称频率响应。 对于如图 5.1 所示的线性定常系统，假设系统是稳定的，若对其输入一正弦信号 xi(t)=Xisinωt 根据微分方程解的理论，则系统稳态输出信号为 xo(t)=Xo(ω)sin[ωt+φ(ω)] 图 5.1 线性定常系统 该信号也是一个正弦信号，其频率与输入信号相同，但幅值和相位发生了变化，如图 5.2 所示。 现设系统的传递函数为 学习要点 X i(t) G(s) Xo(t)

第5章系统频率响应分析KG(s)=Ts +1XiX()=Xi sinoXoXo(1=Xo sin[0+(0)]0$(0)图5.2系统及稳态的输入输出波形输入信号为x(t)=Xsinot，则其拉氏变换为X,oX,(s)=s? +02因而有系统输出的拉氏变换KXoX.(s)=G(s)X(s)Ts+1 5? +02取拉氏逆变换并整理得X,KX,KTe-%xo(t)=sin(ot-arctanTo)1+T02+To?式中，x()即为由输入引起的响应。其中，右边第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。-1/T为G(s)的极点或系统微分方程的特征根si，因s为负值，所以系统是稳定的，随着时间的推移，即1→8时，瞬态分量迅速衰减至零，此时系统只剩下稳态输出X,K(5.1)x(t)=sin(ot-arctanTo)/I+T0?由式5.1可以看出，系统的稳态输出是一个与输入同频率的正弦信号，其幅值XK，相位p(の)=-arctanTの，当正弦的频率变化时，幅值X(）与相位p(の)X.(0)=VI+To随之变化，所以线性定常系统对正弦输入的稳态响应被称为频率响应，式5.1为该系统的频率响应。2.频率特性综上所述，线性系统在正弦输入作用下，其稳态输出的幅值和相位随频率の的变化而变111

111 ( ) 1 K G s Ts = + 图 5.2 系统及稳态的输入输出波形 输入信号为 ( ) sin i i x t X t =  ，则其拉氏变换为 2 2 ( ) i i X X s s   = + 因而有系统输出的拉氏变换 ( ) ( ) ( ) X s G s X s o i = 1 K Ts = + i 2 2 X s    + 取拉氏逆变换并整理得 xo(t) t o 2 2 2 2 ( ) e sin( arctan ) 1 1 i i T X KT X K x t t T T T      − =  + − + + 式中， () o x t 即为由输入引起的响应。其中，右边第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。−1/T 为 G s( ) 的极点或系统微分方程的特征根 si，因 si 为负值，所以系统是稳定的，随着时间的推移， 即 t→∞时，瞬态分量迅速衰减至零，此时系统只剩下稳态输出 () o x t = 2 2 sin( arctan ) 1 X Ki t T T    − + （5.1） 由式 5.1 可以看出，系统的稳态输出是一个与输入同频率的正弦信号，其幅值 2 2 ( ) 1 i o X K X T   = + ，相位    ( ) arctan = − T ，当正弦的频率  变化时，幅值 ( ) X o  与相位 ( ) 随之变化，所以线性定常系统对正弦输入的稳态响应被称为频率响应，式 5.1 为该系统的频率 响应。 2．频率特性 综上所述，线性系统在正弦输入作用下，其稳态输出的幅值和相位随频率  的变化而变 Xi Xo O  () Xi(t)= Xi sin t Xo(t)= Xo sin[ t+ ()] t

机械控制工程基础化，这恰好反映了系统本身的特性，我们将反映该特性的表达式。()和-arctanTo称为系X,统的频率特性，记为X.(0)A(0)=X(5.2)p(o)=-arctanTo式中，A(の)称系统的幅频特性；β(の)称系统的相频特性。3.频率特性与传递函数的关系设描述系统的微分方程为a,x(t)+a-(t)+.+ax(t)+ax(t)=(5.3)b.(m)(0)+bmr(m-) +..+bx(t)+b.x(t)系统的传递函数为G(s)-(-s+b.+bs+b(5.4)X,(s)"a,s"+au-s"-+...+as+a当输入信号为正弦信号，即x（t)=X,sinot时，其拉氏变换为X,oX,(s)=-,(5.5)52 + 02由式（5.4）和（5.5）可得X(s)=G(s),(s) =-b-s*+b-s*+bs+bXO(5.6)a,s"+au-s-+..+as+a $?+o?若系统无重极点，则上式可写为BB'X(s)=_4(5.7)s-jos+jo=s-s,式中，S为系统特征方程的根：A、B、B’（B'为B的共轭复数）为待定系数。对上式进行拉氏逆变换可得系统的输出为Ae+(Bejor+B'e-jor)(5.8)x(0)==对稳定系统而言，系统的特征根s均具有负实部，当t-→8o时，将衰减为零，则上式只剩下其稳态分量，故系统的稳态响应为x(t)=Bejat +B'e-jor(5.9)若系统含有k个重极点，则x()将含有te（k=1，2，，k-1）这样一系列项。对于稳112

112 化，这恰好反映了系统本身的特性，我们将反映该特性的表达式 ( ) o i X X  和−arctanT 称为系 统的频率特性，记为 ( ) ( ) o i X A X   =    ( ) arctan = − T （5.2） 式中， A( )  称系统的幅频特性； ( ) 称系统的相频特性。 3．频率特性与传递函数的关系 设描述系统的微分方程为 ( ) ( -1) 1 1 o ( ) ( ) ( ) ( ) n n n o n o o o a x t a x t a x t a x t + + + + = − ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m i m i i o i b x t b x b x t b x t − + + + + − （5.3） 系统的传递函数为 -1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m o m m o n n i n n o X s b s b s b s b G s X s a s a s a s a − − − + + + + = = + + + + （5.4） 当输入信号为正弦信号，即 ( ) sin i i x t X t =  时，其拉氏变换为 2 2 ( ) i i X X s s   = + （5.5） 由式（5.4）和（5.5）可得 ( ) ( ) ( ) X s G s X s o i = -1 1 1 n 1 1 1 m m m m o n n n o b s b s b s b a s a s a s a − − − + + + + = + + + + 2 2 Xi s  + （5.6） 若系统无重极点，则上式可写为 * o 1 ( ) ( ) j j n i i i A B B X s = s s s s   = + + − − +  （5.7） 式中，si 为系统特征方程的根； * A B B i、 、 （ * B 为 B 的共轭复数）为待定系数。对上式进行拉 氏逆变换可得系统的输出为 () o x t = j * j 1 e ( e e ) i n s t t t i i A B B   − =  + + （5.8） 对稳定系统而言，系统的特征根 si 均具有负实部，当 t→∞时，将衰减为零，则上式只剩 下其稳态分量，故系统的稳态响应为 () o x t = j * j e e t t B B   − + （5.9） 若系统含有 k 个重极点，则 () o x t 将含有 j e k st t （k=1，2，.，k-1）这样一系列项。对于稳

第5章系统频率响应分析定的系统，由于Si的实部为负，t的增长没有e的衰减快。所以te的各项随着t-→o也都趋于零。因此，对于稳定的系统不管系统是否有重极点，其稳态响应都如式（5.9）所示。式（5.9）中的待定系数B和B可根据2.3节中所介绍的方法求得，即X,0景=G(j0)]ei<)5(s-jo)-ja =G(s) XB=G(s)=je= G(jo)2j(s-jo)(s+jo)s+ io2j同理可得=G(jo)=G(j)e-2G(),21-2将B和B代入（5.9）中，则系统的稳态响应为ellot+ZG(jo)]e-ot+ZG(jo)x(0)=G(j0)/x R2j(5.10)=|G(jo)|X,sin[ot+ZG(jo)]根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为(0)=()=G(j0)l(5.11)X(0)= ZG(jo)故G(jo)=|G(jo)leji<G(i)就是系统的频率特性，它是将G(s)中的s用jo取代后的结果，是の的复变函数。显然，频率特性的量纲就是传递函数的量纲，也是输出信号与输入信号的量纲之比。由于G(j）是一个复变函数，故也可写成实部和虚部之和，即(5.12)G(jo)=Re[G(j@) ]+Im[G(jo) J=u(@)+ jv(@)式中，u（の）是频率特性的实部，称实频特性（在测试技术中又称同相分量）：（）是频率特性的虚部，称虚频特性（在测试技术中又称异相分量）。综上所述，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图5.3所示。将微分方程的微分算子兴换成后，由此方程就可获得传递函dt数；而将传递函数中的s换成jの，传递函数就变成了频率特性，反之亦然。dd微分方程drdtJe系统传递函数频率特性jo图5.3系统的微分方程，传递函数和频率特性相互转换113

113 定的系统，由于 si 的实部为负， k t 的增长没有 j e st 的衰减快。所以 j e k st t 的各项随着 t→∞也都 趋于零。因此，对于稳定的系统不管系统是否有重极点，其稳态响应都如式（5.9）所示。式 （5.9）中的待定系数 * B B 和 可根据 2.3 节中所介绍的方法求得，即 j ( j ) j j ( ) ( j ) ( ) (j ) (j ) e ( j )( j ) j 2j 2j i i i i G s s X X X X B G s s G s G G s s s             = − = =  =  = = − + + 同理可得 * B j ( j ) j ( j ) (j ) e 2j 2j i i G s X X G G     −  = = − =  − − 将 * B B 和 代入（5.9）中，则系统的稳态响应为 j[ t ( j )] j[ t ( j )] e e ( ) | (j ) | 2j G G o i x t G X      + − + − = = | (j ) | sin[ t (j )] G X G    i +  （5.10） 根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为 ( ) ( ) | (j ) | ( ) (j ) o i X A G X G        = =    =   （5.11） 故 G(j )  =| G(j )  | j ( j ) e G  就是系统的频率特性，它是将 G s( ) 中的 s 用 j 取代后的结果， 是  的复变函数。显然，频率特性的量纲就是传递函数的量纲，也是输出信号与输入信号的 量纲之比。 由于 G(j )  是一个复变函数，故也可写成实部和虚部之和，即 G(j )  =Re[ G(j )  ]+Im[ G(j )  ]= u v ( ) j ( )   + （5.12） 式中，u( )  是频率特性的实部，称实频特性（在测试技术中又称同相分量）； v( )  是频率特性 的虚部，称虚频特性（在测试技术中又称异相分量）。 综上所述，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以用频率特性来描述。它们 之间的相互关系如图 5.3 所示。将微分方程的微分算子 d dt 换成 s 后，由此方程就可获得传递函 数；而将传递函数中的 s 换成 j ，传递函数就变成了频率特性，反之亦然。 图 5.3 系统的微分方程，传递函数和频率特性相互转换 微分方程 传递函数 系统 s j s d dt d dt j 频率特性

机械控制工程基础5.1.2频率特性的特点和作用1.频率特性可通过频率响应试验求取用试验法求取频率特性，这是针对实际系统既常用又重要的一种方法。根据频率特性的定义，首先改变输入正弦信号Xej的频率@，并测出与此相应的输出幅值X。(の)与相移p(の)。然后做出幅值X。(の)/X比对频率の的函数曲线，此即幅频特性曲线；做出相移β(の)对频率o的函数曲线，此即相频特性曲线。2.频率特性是单位脉冲响应函数的频谱设某系统的输出为X。(s) =G(s)X,(s)根据频率特性与传递函数的关系有X.(jo)=G(j@)X(jo)当x(t)=8(0)时X,(jo) = F[8(t)]=1故X.(jo)=G(jo)或F[X。(0)]=G(jo)这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换或其频谱，所以对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。时间响应分析主要是通过分析线性系统过渡过程，以获得系统的动态特性，而频率特性分析则是通过分析不同的正弦输入时系统的稳态响应，来获得系统的动态特性。在研究系统结构及参数的变化对系统性能的影响时，许多情况下（例如对于单输入、单输出系统），在频域中分析比在时域中分析要容易。特别是根据频率特性可以比较方便地判别系统的稳定性和稳定性储备，并可通过频率特性进行参数选择或对系统进行校正，使系统达到预期的性能指标。更易于选择系统工作的频率范围，或者根据系统工作的频率范围，设计具有合适的频率特性的系统。若线性系统的阶次较高，求得系统的微分方程较困难时，用实验的方法获得频率特性会更方便。例如，对于机械系统或液压系统，动柔度或动刚度这一动态性能是非常重要的。但是，当无法用分析法或不能较精确地用分析法求得系统的微分方程或传递函数时，这一动态性能也就无法求得。然而，用实验方法在系统的输入端加上一个按正弦规律变化的力信号，记录系统的位移，改变输入信号的频率可获得相应位移的稳态输出幅值与相位，从而获得系统的频率特性G(jo)=G(jw)ej9(o)。若系统的输入信号中带有严重的噪声干扰，则对系统采用频率特性分析法可设计出合适的通频带，以抑制噪声的影响。114人

114 1．频率特性可通过频率响应试验求取 用试验法求取频率特性，这是针对实际系统既常用又重要的一种方法。根据频率特性的定 义，首先改变输入正弦信号 j e t Xi  的频率  ，并测出与此相应的输出幅值 ( ) X o  与相移 ( ) 。 然后做出幅值 ( ) X o  / Xi 比对频率  的函数曲线，此即幅频特性曲线；做出相移 ( ) 对频率  的函数曲线，此即相频特性曲线。 2．频率特性是单位脉冲响应函数的频谱 设某系统的输出为 ( ) ( ) ( ) X s G s X s o i = 根据频率特性与传递函数的关系有 (j ) (j ) (j ) X G X o i    = 当 ( ) ( ) i x t t =  时， (j ) [ ( )] 1 X F t i   = = 故 (j ) (j ) X G o   = 或 [ ( )] (j ) F X t G o =  这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的 Fourier 变换或其频谱，所以对频率特性 的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。 时间响应分析主要是通过分析线性系统过渡过程，以获得系统的动态特性，而频率特性分 析则是通过分析不同的正弦输入时系统的稳态响应，来获得系统的动态特性。 在研究系统结构及参数的变化对系统性能的影响时，许多情况下（例如对于单输入、单输 出系统），在频域中分析比在时域中分析要容易。特别是根据频率特性可以比较方便地判别系 统的稳定性和稳定性储备，并可通过频率特性进行参数选择或对系统进行校正，使系统达到预 期的性能指标。更易于选择系统工作的频率范围，或者根据系统工作的频率范围，设计具有合 适的频率特性的系统。 若线性系统的阶次较高，求得系统的微分方程较困难时，用实验的方法获得频率特性会更 方便。 例如，对于机械系统或液压系统，动柔度或动刚度这一动态性能是非常重要的。但是，当 无法用分析法或不能较精确地用分析法求得系统的微分方程或传递函数时，这一动态性能也就 无法求得。然而，用实验方法在系统的输入端加上一个按正弦规律变化的力信号，记录系统的 位移，改变输入信号的频率可获得相应位移的稳态输出幅值与相位，从而获得系统的频率特性 G(j )  = j ( ) G(j )e    。 若系统的输入信号中带有严重的噪声干扰，则对系统采用频率特性分析法可设计出合适的 通频带，以抑制噪声的影响