第二章 拉普拉斯变换第二章拉普拉斯变换本章学习要点：拉氏变换的概念；拉氏变换的性质；常用函数的拉氏变换；拉氏逆变换；卷积定理
第二章 拉普拉斯变换 ◆ 拉氏变换的概念； ◆ 拉氏变换的性质； ◆ 常用函数的拉氏变换； ◆ 拉氏逆变换； ◆ 卷积定理。 第二章 拉普拉斯变换 本章学习要点：
第二章 拉普拉斯变换拉氏变换法的优点：(1)从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算，即把积分微分方程转换为代数方程(2)当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量(3)拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域中两函数的乘法运算
第二章 拉普拉斯变换 拉氏变换法的优点： (1) 从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数 线性微分方程的工具。可以分别将“微分”与 “积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算， 即把积分微分方程转换为代数方程。 (2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解 的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态 分量和稳态分量。 (3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算 转换为复频域中两函数的乘法运算
第二章 拉普拉斯变换2.1拉氏变换的概念2.1.1问题的提出积分区间单位阶8,+8]p(t)u(t)跃函数p(t)[0, 8指数衰-BtDr绝对可积减函数P(t)u(t)e-β新函数(βB>0)傅立叶变换(β+jo)tdte-jotdt =Gβ() = /T7ctT
第二章 拉普拉斯变换 (t) 2.1.1问题的提出 2.1 拉氏变换的概念 单位阶 跃函数 指数衰 减函数 (t)u(t) [0,) − ，+ 积分区间 t t e − ( ) 绝对可积 t t u t e − 新函数 ( ) ( ) (β＞0) − + − − − = = 0 ( ) G ( ) (t)u(t)e e dt (t)u(t)e dt t jt j t 傅立叶变换
第二章 拉普拉斯变换变换，简称拉氏变换拉普拉斯 (Laplace)我们规定：(1) f(t)=p(t)u(t)为时间的函数，并且t<o时f(t)=0(2)s=β+j为复变量(3）L为运算符号，放在时间函数之前，表示该时间函数用拉氏积分。e-"dt进行变换(4) F(s)为时间函数f(t)的拉氏变换。时间函数f(t)的拉氏变换为L[f(t)] = F(s)-/f(t)e象函数原函数即时间函数F(s)为f(t)的拉普拉斯变换
第二章 拉普拉斯变换 拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 (2) s = + j 为复变量 我们规定： (1) f (t) =(t)u(t) 为时间t的函数，并且t<0时 f (t) = 0 (3) L为运算符号，放在时间函数之前，表示该 时间函数用拉氏积分 进行变换 − 0 e dt st F(s) f (t) (4) 为时间函数 的拉氏变换。 时间函数 f (t) 的拉氏变换为 − − = = = 0 0 L[ f (t)] F(s) e dt[ f (t)] f (t)e dt s t s t 即时间函数F(s)为f (t)的拉普拉斯变换。 象函数 原函数
第二章 拉普拉斯变换从拉氏变换F(s)求时间函数f(t)的逆变换过程称为拉普拉斯逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为L-1。L-{F(s))= f(t)F(s)estdst≥02元B-ja以上两式为一对互逆的积分变换公式，我们也称F(s)和f(t)构成了一个拉氏变换对
第二章 拉普拉斯变换 + − − = = j j s t L F s f t F s e s ( ) d 2 j 1 [ ( )] ( ) 1 t≥0 称为拉普拉斯逆变换，简称为拉氏逆变换，其运 算符号为 从拉氏变换 求时间函数 的逆变换过程 −1 L F(s) f (t) 。 以上两式为一对互逆的积分变换公式，我 们也称 F(s)和f (t)构成了一个拉氏变换对