第4章时间响应分析关键知识点了解时间响应的概念、组成及常用的典型输入信号；掌握一阶系统的基本参数，时间响应曲线的基本形状及意义；掌握线性系统中存在微分或积分关系的输入，其输出也存在微分或积分关系的基本结论；掌握二阶系统的定义和基本参数，掌握二阶系统单位阶跃响应曲线的基本形状及振荡情况与系统阻尼比之间的关系掌握二阶系统性能指标的定义、计算及其与系统特征参数之间的关系；掌握系统误差的基本概念误差与偏差的关系，稳态误差的计算方法，稳态误差与输入信号及系统类型的关系。在实际控制系统的数学模型建立之后，就可以采用不同的方法对控制系统的动态性能和稳态性能进行分析，进而得出改进系统性能的方法。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析方法、频域分析法和根轨迹法。本章主要研究线性定常系统的时域分析法。4.1概述时域分析法就是根据系统的微分方程，对一个特定的输入信号，通过拉民变换，直接解出系统的时间响应，再根据响应的表达式及对应曲线来分析系统的性能，如稳定性、准确性、快速性等。用时域分析法分析系统性能具有直接、准确、易于接受等特点，是经典控制理论中进行系统性能分析的一种重要方法。4.1.1时间响应及其组成在输入信号作用下，系统输出随时间的变化过程称系统的时间响应。一个实际系统的时间响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应，如图4.1所示。86
86 第 4 章 时间响应分析 了解时间响应的概念、组成及常用的典型输入信号；掌握一阶系统的基本参数、 时间响应曲线的基本形状及意义；掌握线性系统中存在微分或积分关系的输入，其输 出也存在微分或积分关系的基本结论；掌握二阶系统的定义和基本参数，掌握二阶系 统单位阶跃响应曲线的基本形状及振荡情况与系统阻尼比之间的关系；掌握二阶系统 性能指标的定义、计算及其与系统特征参数之间的关系；掌握系统误差的基本概念， 误差与偏差的关系，稳态误差的计算方法，稳态误差与输入信号及系统类型的关系。 在实际控制系统的数学模型建立之后，就可以采用不同的方法对控制系统的动态性能和稳 态性能进行分析，进而得出改进系统性能的方法。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域 分析方法、频域分析法和根轨迹法。本章主要研究线性定常系统的时域分析法。 4.1 概述 时域分析法就是根据系统的微分方程，对一个特定的输入信号，通过拉氏变换，直接解出 系统的时间响应，再根据响应的表达式及对应曲线来分析系统的性能，如稳定性、准确性、快 速性等。用时域分析法分析系统性能具有直接、准确、易于接受等特点，是经典控制理论中进 行系统性能分析的一种重要方法。 在输入信号作用下，系统输出随时间的变化过程称系统的时间响应。一个实际系统的时间 响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应，如图 4.1 所示。 关键知识点
第4章时间响应分析Xo(t) x(0)0瞬态响应稳态响应图4.1系统的时间响应瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程，也称动态响应，反映了控制系统的稳定性和快速性。稳态响应：当某一信号输入时，系统在时间1趋于无穷时的输出状态，也称静态响应，反映了系统的准确性。4.1.2典型试验信号控制系统的动态性能是通过某输入信号作用下系统的瞬态响应过程来评价的。时间响应不仅取决于系统本身的特性，而且还与输入信号的形式有关。在一般情况下，控制系统的实际输入信号预先是未知的，且多数情况下可能是随机的。为了便于对系统的分析和设计，就需要假定一些典型的输入函数作为系统的试验信号，据此对系统的性能做出评述。典型的试验信号一般应具备两个条件：信号的数学表达式简单，便于数学上的分析和处理：信号易于在实验室中获得。在控制工程中，常用以下五种信号作为典型的输入信号。1.脉冲信号脉冲信号可视为一个持续时间极短的信号，如图4.2（a）所示。它的数学表达式为01<0,1>8x,(t) =(4.1)[A/0<1<g式中，A为常数，当A=1，ε→0时，称单位脉冲信号，用8(t)表示。单位脉冲信号的拉氏变换为L[8(t)]=12.阶跃信号阶跃输入信号表示参考输入量的一个瞬间突变过程，如图4.2（b）所示。它的数学表达式为fot<0x,(0) =(4.2)t≥0LA式中，A为常数，当A=1时，称单位阶跃信号，用u()表示。87
87 图 4.1 系统的时间响应 瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程，也 称动态响应，反映了控制系统的稳定性和快速性。 稳态响应：当某一信号输入时，系统在时间 t 趋于无穷时的输出状态，也称静态响应，反 映了系统的准确性。 控制系统的动态性能是通过某输入信号作用下系统的瞬态响应过程来评价的。时间响应不 仅取决于系统本身的特性，而且还与输入信号的形式有关。在一般情况下，控制系统的实际输 入信号预先是未知的，且多数情况下可能是随机的。为了便于对系统的分析和设计，就需要假 定一些典型的输入函数作为系统的试验信号，据此对系统的性能做出评述。 典型的试验信号一般应具备两个条件：信号的数学表达式简单，便于数学上的分析和处理； 信号易于在实验室中获得。 在控制工程中，常用以下五种信号作为典型的输入信号。 1．脉冲信号 脉冲信号可视为一个持续时间极短的信号，如图 4.2（a）所示。它的数学表达式为 0 ( ) / i x t A = 0, 0 t t t （4.1） 式中，A 为常数，当 A=1，ε→0 时，称单位脉冲信号，用 ()t 表示。 单位脉冲信号的拉氏变换为 L t ( ) 1 = 2．阶跃信号 阶跃输入信号表示参考输入量的一个瞬间突变过程，如图 4.2（b）所示。它的数学表达式为 0 ( ) i x t A = 0 0 t t （4.2） 式中，A 为常数，当 A=1 时，称单位阶跃信号，用 ut() 表示。 ≥
机械控制工程基础X()X(OtA(a)(b)图4.2典型输入信号（一）单位阶跃信号的拉氏变换为L[u()]=3.斜坡信号斜坡信号表示由零值开始随时间t作线性增长，也称恒速信号，如图4.3（a）所示。它的数学表达式为0t<0(4.3)x(t)=At1>0式中，A为常数，当A=1时，称单位斜坡信号，用r()表示。单位斜坡信号的拉氏变换为L[r(0)] =4.抛物线信号抛物线信号表示输入变量是等加速度变化的，也称加速度信号，如图4.3（b）所示。它的数学表达式为0t<0(4.4)x()=3115At≥0式中，A为常数，当A=1时，称单位抛物线信号。单位抛物线信号的拉氏变换为-12=88
88 图 4.2 典型输入信号（一） 单位阶跃信号的拉氏变换为 1 L u t( ) s = 3．斜坡信号 斜坡信号表示由零值开始随时间 t 作线性增长，也称恒速信号，如图 4.3（a）所示。它的 数学表达式为 0 ( ) i x t At = 0 0 t t （4.3） 式中，A 为常数，当 A=1 时，称单位斜坡信号，用 rt() 表示。 单位斜坡信号的拉氏变换为 2 1 L r t( ) s = 4．抛物线信号 抛物线信号表示输入变量是等加速度变化的，也称加速度信号，如图 4.3（b）所示。它的 数学表达式为 2 0 ( ) 1 2 i x t At = 0 0 t t （4.4） 式中，A 为常数，当 A=1 时，称单位抛物线信号。 单位抛物线信号的拉氏变换为 2 3 1 1 2 L t s = ≥ ≥
第4章时间响应分析XotX(Ot4/2(a)(b)图4.3典型输入信号（二）5.正弦信号用正弦函数作为输入信号，它的数学表达式为0t<0x,(t):(4.5)t≥0Asinot正弦信号主要用于求取系统的频率响应，以此分析和设计控制系统。4.2一阶系统的时间响应能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统，它的典型形式是一阶惯性环节，其微分方程和传递函数的表达式为Td,(①+x,(0)=x,(0)dt1X,(s)G(s)=(4.6)Ts +1X,(s)式中，T为一阶系统的时间常数，反映了系统的固有特性，称一阶系统的特征参数。4.2.1一阶系统的单位脉冲响应系统在单位脉冲信号作用下的输出称单位脉冲响应。当一阶系统的输入信号x(t)=8(t)时，X(s)=L[8(t))=1，则1X (s)=G(s)X(s) =1Ts+1对上式进行拉氏逆变换得x(0)= [X。(s)]= 1则(1≥0)(4.7)x.(t):89
89 图 4.3 典型输入信号（二） 5．正弦信号 用正弦函数作为输入信号，它的数学表达式为 0 ( ) sin i x t A t = 0 0 t t （4.5） 正弦信号主要用于求取系统的频率响应，以此分析和设计控制系统。 4.2 一阶系统的时间响应 能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统，它的典型形式是一阶惯性环节，其微分方程 和传递函数的表达式为 ( ) ( ) ( ) o o i dx t T x t x t dt + = ( ) 1 ( ) ( ) 1 o i X s G s X s Ts = = + （4.6） 式中，T 为一阶系统的时间常数，反映了系统的固有特性，称一阶系统的特征参数。 系统在单位脉冲信号作用下的输出称单位脉冲响应。 当一阶系统的输入信号 ( ) ( ) i x t t = 时， ( ) [ ( )] 1 X s L t i = = ，则 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 X s G s X s o i Ts = = + 对上式进行拉氏逆变换得 1 1 1 ( ) ( ) 1 o o x t L X s L Ts − − = = + 则 1 1 ( ) t T o x t e T − = （t≥0） （4.7） ≥
机械控制工程基础一阶系统的单位脉冲响应曲线，如图4.4所示。由此可以得出X()-1斜率二！T20.3680273T图4.4一阶系统的单位脉冲响应①响应曲线是一条单调下降的指数曲线，初值为！当1趋于无穷时，其值趋于零，故T稳态分量为零：②指数曲线衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为4T，此时间称为过渡过程时间或调整时间1：③时间常数T愈小，调整时间愈短。说明系统的惯性愈小，对输入信号反应的快速性能愈好。4.2.2一阶系统的单位阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的输出称单位阶跃响应。当一阶系统的输入信号x,(1)=u()时，X,(s)=L[u(0)=！，则11X。(s)=G(s)X,(s):Ts+1 s上式取拉氏逆变换后得x(0)= L'[X,(s)]=1-e"(t≥0)(4.8)根据上式可得出表4.1中的数据，一阶系统的单位阶跃响应曲线，如图4.5所示。由此可以得出：①单位阶跃响应曲线是一条单调上升的指数曲线，稳态值为1，瞬态响应过程平稳，无振荡；②当T时，响应为稳态值的63.2%，因此用实验方法测出响应曲线到达稳态值的63.2%时所用的时间即为惯性环节的时间常数T：③当0时，响应曲线的切线斜率等于1/T，这是确定时间常数T的另一种方法④当4T时，响应曲线已达到稳态值的98%以上，工程上认为瞬态响应过程结束，系统的过渡过程时间1=4T。这与单位脉冲响应的过渡过程时间相同，说明时间常数T反映了一90四
90 一阶系统的单位脉冲响应曲线，如图 4.4 所示。由此可以得出 图 4.4 一阶系统的单位脉冲响应 ① 响应曲线是一条单调下降的指数曲线，初值为 1 T ，当 t 趋于无穷时，其值趋于零，故 稳态分量为零； ② 指数曲线衰减到初值的 2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为 4T，此时间称 为过渡过程时间或调整时间 s t ； ③ 时间常数 T 愈小，调整时间愈短。说明系统的惯性愈小，对输入信号反应的快速性能 愈好。 系统在单位阶跃信号作用下的输出称单位阶跃响应。 当一阶系统的输入信号 ( ) ( ) i x t u t = 时， 1 ( ) ( ) X s L u t i s = = ，则 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 X s G s X s o i Ts s = = + 上式取拉氏逆变换后得 1 1 ( ) ( ) 1 t T o o x t L X s e − − = = − （t≥0） （4.8） 根据上式可得出表 4.1 中的数据，一阶系统的单位阶跃响应曲线，如图 4.5 所示。由此可 以得出： ① 单位阶跃响应曲线是一条单调上升的指数曲线，稳态值为 1，瞬态响应过程平稳，无 振荡； ② 当 t=T 时，响应为稳态值的 63.2%，因此用实验方法测出响应曲线到达稳态值的 63.2% 时所用的时间即为惯性环节的时间常数 T； ③ 当 t=0 时，响应曲线的切线斜率等于 1/T，这是确定时间常数 T 的另一种方法； ④ 当 t≥4T 时，响应曲线已达到稳态值的 98%以上，工程上认为瞬态响应过程结束，系 统的过渡过程时间 ts=4T。这与单位脉冲响应的过渡过程时间相同，说明时间常数 T 反映了一