第2章拉普拉斯变换学习要点要求掌握拉氏变换的概念；拉氏变换的性质，包括：线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理和终值定理；常用函数的拉氏变换：拉氏逆变换；卷积定理。拉普拉斯变换简称拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的重要数学工具之一，它可以把时域中的微分方程变换成复数域中的代数方程，从而使微分方程的求解大为简化。同时利用拉氏变换建立控制系统的传递函数、频率特性等分析中发挥着重要作用。拉氏变换法的优点如下。①从数学角度来看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算，即把微分积分方程转换为代数方程。对于指数函数、超越函数以及某些非周期性的具有不连续点的函数，用古典方法求解比较烦，经拉氏变换可转换为简单的初等函数，就很简便。②当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。③拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域中两函数的乘法运算。在此基础上，建立了控制系统传递函数的概念，这一重要概念的应用为研究控制系统的传输问题提供了许多方便。2.1拉氏变换的概念2.1.1问题的提出当一个函数除满足狄里赫利条件外，且在(-80，)内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅立叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，在控制工程中经常应用的许多时间函数，即使是很简单的函数（如单位阶跃函数、正弦函数、指数函数、斜坡函数等线性函数）也并不满足这个条件：同时，能够进行傅立叶变换的时间函数必须在整个时间轴上有定义，即8
8 第 2 章 拉普拉斯变换 要求掌握拉氏变换的概念；拉氏变换的性质，包括：线性性质、微分性质、积分 性质、位移性质、延迟性质、初值定理和终值定理；常用函数的拉氏变换；拉氏逆变 换；卷积定理。 拉普拉斯变换简称拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的 重要数学工具之一，它可以把时域中的微分方程变换成复数域中的代数方程，从而使微分方程 的求解大为简化。同时利用拉氏变换建立控制系统的传递函数、频率特性等分析中发挥着重要 作用。 拉氏变换法的优点如下。 ① 从数学角度来看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具。可以分别将“微 分”与“积分”运算转换成“乘法”和“除法”运算，即把微分积分方程转换为代数方程。对 于指数函数、超越函数以及某些非周期性的具有不连续点的函数，用古典方法求解比较烦琐， 经拉氏变换可转换为简单的初等函数，就很简便。 ② 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简化，可以同时获得控制系统 的瞬态分量和稳态分量。 ③ 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域中两函数的乘法运算。在此 基础上，建立了控制系统传递函数的概念，这一重要概念的应用为研究控制系统的传输问题提 供了许多方便。 2.1 拉氏变换的概念 当一个函数除满足狄里赫利条件外，且在(-∞，∞)内满足绝对可积的条件时，就一定存 在古典意义下的傅立叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，在控制工程中经常应用的许多时 间函数，即使是很简单的函数（如单位阶跃函数、正弦函数、指数函数、斜坡函数等线性函数） 也并不满足这个条件；同时，能够进行傅立叶变换的时间函数必须在整个时间轴上有定义，即 学习要点
第2章拉普拉斯变换1e(-0,α)。但在控制工程等实际应用中，许多以时间1作为自变量的时间函数往往在1<0时是无意义的或者是不需要考虑的，像这样的时间函数是不能求傅立叶变换的。由此可见，傅立叶变换在控制工程中的应用受到了限制。对于任意一个时间函数β(t)，能否经过适当地改造，使其进行傅立叶变换时，克服上述两个缺点呢？当我们利用单位阶跃函数u(t)和指数衰减函数e-（β>0)所具有的特点，分别构成两个新的函数(t)u(t)和p(t)e-，这时，(t)u(t)的积分区间由(-0，0)变成[0,0)，在积分区间[0,)内p(t)u()=p(t)；而p(t)e-就有可能变得绝对可积。如果再构成一个新的函数(2.1)p(t)u(t)e-Br (β>0)只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件，即时间函数β(t)的傅立叶变换存在。对式（2.1）取傅立叶变换，得Gg (o) = [p(t)u(t)e-Pe-jnr dt(2.2)=J, 0(1)u(1)e-(β+J vdr因此，对时间函数(0)先乘以u(t)e-（β>0)，再进行傅立叶变换的运算，这就产生了一种新的变换一一拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。规定：①f(t)=p(t)u(t)为时间t的函数，并且当<0时f(t)=0;②S=β+jo为复变量：③L为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间函数用拉氏积分[e-dt进行变换；F(s)为时间函数f(t)的拉氏变换。于是，时间函数f()的拉氏变换为(2.3)LLf(t)=F(s)=e-"diLf(t))=f(t)e-"dt即时间函数F(s)为f(の)的拉普拉斯变换。在这里，f(t)称“原函数”，F(s)称“象函数”。从拉氏变换F(s)求时间函数的f(t)逆变换过程称拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换，其运算符号为L-l。拉氏逆变换可以通过下列反演积分，从F(s）求得拉氏逆变换[[F(s)= ()=["F(s)eds (1≥0)(2.4)2元iβ-式（2.4）和式（2.3）成为一对互逆的积分变换公式，我们也称f()和F(s）构成了一个拉氏变换对。计算反演积分通常比较困难，实际上我们很少采用式（2.4）这个积分去求时间函数f(t）。这里存在着一些较简单的求解时间函数f(t)的方法，在本章的2.3节将讨论这些方法
9 t −( , ) ∞∞ 。但在控制工程等实际应用中，许多以时间 t 作为自变量的时间函数往往在 t<0 时 是无意义的或者是不需要考虑的，像这样的时间函数是不能求傅立叶变换的。由此可见，傅立 叶变换在控制工程中的应用受到了限制。 对于任意一个时间函数 ()t ，能否经过适当地改造，使其进行傅立叶变换时，克服上述两 个缺点呢？ 当我们利用单位阶跃函数 ut() 和指数衰减函数 e −t (>0)所具有的特点，分别构成两个新的 函数 ( ) ( ) t u t 和 ( )e t t − ，这时， ( ) ( ) t u t 的积分区间由(-∞，∞)变成[0,∞)，在积分区间[0,∞) 内 ( ) ( ) ( ) t u t t = ；而 ( )e t t − 就有可能变得绝对可积。 如果再构成一个新的函数 ( ) ( )e t t u t − (>0) （2.1） 只要 值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件，即时间函数 ()t 的傅立叶变 换存在。 对式（2.1）取傅立叶变换，得 ( ) 0 ( ) ( ) ( )e e d ( ) ( )e d t j t j t G t u t t t u t t − − − − + = = ∞ ∞ ∞ （2.2） 因此，对时间函数 ()t 先乘以 ( )e t u t − (>0)，再进行傅立叶变换的运算，这就产生了一种 新的变换——拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 规定： ① f t t u t ( ) ( ) ( ) = 为时间 t 的函数，并且当 t<0 时 f t( ) 0 = ； ② s j = + 为复变量； ③ L 为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间函数用拉氏积分 0 e dst t − ∞ 进行变换； ④ F s( ) 为时间函数 f t() 的拉氏变换。 于是，时间函数 f t() 的拉氏变换为 0 0 [ ( )] ( ) e d [ ( )] ( )e d st st L f t F s t f t f t t − − = = = ∞ ∞ （2.3） 即时间函数 F s( ) 为 f t() 的拉普拉斯变换。在这里， f t() 称 “原函数”， F s( ) 称“象函数”。 从拉氏变换 F s( ) 求时间函数的 f t() 逆变换过程称拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换，其 运算符号为 1 L − 。拉氏逆变换可以通过下列反演积分，从 F s( ) 求得拉氏逆变换 1 1 [ ( )] ( ) ( )e d 2 j j st j L F s f t F s s + − − = = ∞ ∞ （t≥0） （2.4） 式（2.4）和式（2.3）成为一对互逆的积分变换公式，我们也称 f t() 和 F s( ) 构成了一个拉 氏变换对。 计算反演积分通常比较困难，实际上我们很少采用式（2.4）这个积分去求时间函数 f t() 。 这里存在着一些较简单的求解时间函数 f t() 的方法，在本章的 2.3 节将讨论这些方法
机械控制工程基础2.1.2拉氏变换的存在定理对于一个时间函数f()的拉氏变换也像其傅氏变换一样，在数学上必须满足一定条件，才可求取其拉氏变换，从而引出了拉氏变换的存在定理。若时间函数f()满足下列条件：①在0的任一有限区间上分段连续：②当t→o时，f()的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M>0及c≥0，使得(≤Me",0≤t<0成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数）。则f()的拉氏变换(2.5)F(s)=[f(t)e-"dt在半平面R(s)>c上一定存在，右端的积分在Re(s)≥Ci>c上绝对收敛而且一致收敛，并且在R,(s)>c半平面内，F(s)为解析函数。即，如果拉氏积分收敛，则时间函数f()的拉氏变换存在。如果f()在>0范围内的每一个有限区间上分段连续，并且当1趋于无穷大时，函数f(）是指数级的，则拉氏积分将是收敛的。1.常用函数的拉氏变换（1）指数函数考虑下列指数函数：01<01f(t)=(2.6)LAe-at≥0式中，A和α为常数。指数函数的拉氏变换为Ae-(α+s)'dt =L[Ae-"]-[Ae-"e-"d = A](2.7)s+aα可以看出，指数函数在复平面内将产生了一个极点。（2）阶跃函数考虑下列阶跃函数：1ot<0f(0)=(2.8)At>0式中，A为常数。应当指出，这个函数是指数函数Ae-αt在α=0时的特殊情况。当t=0时，阶跃函数是不连续的。阶跃函数的拉氏变换为Ae"'di = 4L[A]=(2.9)10
10 对于一个时间函数 f t() 的拉氏变换也像其傅氏变换一样，在数学上必须满足一定条件， 才可求取其拉氏变换，从而引出了拉氏变换的存在定理。 若时间函数 f t() 满足下列条件： ① 在 t≥0 的任一有限区间上分段连续； ② 当 t →∞ 时， f t() 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数 M>0 及 c≥0，使得 |f(t)|≤Me ct，0≤ t ∞ 成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c 为它的增长指数）。 则 f t() 的拉氏变换 0 ( ) ( )e dst F s f t t − = ∞ （2.5） 在半平面 R ( ) e s c 上一定存在，右端的积分在 Re(s)≥c1>c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 R ( ) e s c 半平面内， F s( ) 为解析函数。 即，如果拉氏积分收敛，则时间函数 f t() 的拉氏变换存在。如果 f t() 在 t>0 范围内的每 一个有限区间上分段连续，并且当 t 趋于无穷大时，函数 f t() 是指数级的，则拉氏积分将是收 敛的。 1．常用函数的拉氏变换 （1）指数函数 考虑下列指数函数： 0 0 ( ) 0 t t f t Ae t − = （2.6） 式中，A 和 为常数。 指数函数的拉氏变换为 ( ) 0 0 [ e ] e d e d t t st s t A L A Ae t A t s − − − − + = = = + ∞ ∞ （2.7） 可以看出，指数函数在复平面内将产生了一个极点。 （2）阶跃函数 考虑下列阶跃函数： 0 0 ( ) 0 t f t A t = （2.8） 式中，A 为常数。应当指出，这个函数是指数函数 e t A − 在 =0 时的特殊情况。当 t=0 时，阶 跃函数是不连续的。 阶跃函数的拉氏变换为 0 [ ] e dst A L A A t s − = = ∞ （2.9） ≥
第2章拉普拉斯变换在进行上述积分时，我们假设s的实部大于零，因此lime-al=0这样求得的拉氏变换，除在极点5-0之外，在整个复平面上都是正确的。特别地，当A=1时的阶跃函数称单位阶跃函数，如图2.1（a）所示，通常用u(t)表示。发生在-to时的单位阶跃函数通常写成u(t-t），如图2.1（b）所示。高度为A的阶跃函数，即式（2.8）中的f(l)，当其发生在t=0时，可以写成f(t)=Au(t)。u(t) 4u(tto) 4o1o1fo(b)(a)图2.1单位阶跃函数因此，单位阶跃函数t）可由下式定义[o1<0u(t) =(2.10)[1t>0其拉氏变换为e""dt=L[u(t)]=(2.11)实际上，发生于t=0时的阶跃函数，相当于在时间t=0时，把一个定常信号突然加到系统上。（3）斜坡函数考虑下列斜坡函数：[o1<0(2.12)f(t)[At1≥0式中，A为常数。斜坡函数的拉氏变换为Ae[Ate"dt = AteL[At]=[d(2.13)e-"dt=-s特别地，当A=1时的斜坡函数称单位斜坡函数，如图2.2（a）所示，通常用r()表示。发生在t=to时的单位斜坡函数通常写成r(t-t。），如图2.2（b）所示。当高度为A的斜坡函数，即式（2.12）中的f(t)，当其发生在t=0时，可以写成f()=Ar()。11
11 在进行上述积分时，我们假设 s 的实部大于零，因此 lim 0 t t e − = →∞ 这样求得的拉氏变换，除在极点 s=0 之外，在整个复平面上都是正确的。 特别地，当 A=1 时的阶跃函数称单位阶跃函数，如图 2.1（a）所示，通常用 ut() 表示。 发生在 t=t0 时的单位阶跃函数通常写成 0 u t t ( ) − ，如图 2.1（b）所示。高度为 A 的阶跃函数， 即式（2.8）中的 f t() ，当其发生在 t = 0 时，可以写成 f t Au t ( ) ( ) = 。 图 2.1 单位阶跃函数 因此，单位阶跃函数 ut() 可由下式定义 0 0 ( ) 1 0 t u t t = （2.10） 其拉氏变换为 0 1 [ ( )] e dst L u t t s − = = ∞ （2.11） 实际上，发生于 t = 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t = 0 时，把一个定常信号突然加到系统上。 （3）斜坡函数 考虑下列斜坡函数： 0 0 ( ) 0 t f t At t = （2.12） 式中，A 为常数。 斜坡函数的拉氏变换为 0 0 0 2 0 e e [ ] e d d e d st st st st A L At At t At t s s A A t s s − − − − = = − − − = = ∞ ∞ ∞ ∞ （2.13） 特别地，当 A=1 时的斜坡函数称单位斜坡函数，如图 2.2（a）所示，通常用 rt() 表示。发 生在 t=t0 时的单位斜坡函数通常写成 0 r t t ( ) − ，如图 2.2（b）所示。当高度为 A 的斜坡函数， 即式（2.12）中的 f t() ，当其发生在 t = 0 时，可以写成 f t Ar t ( ) ( ) = 。 ≥
机械控制工程基础r(10)斜率斜率=100t-(a)(b)图2.2单位斜坡函数因此，单位斜坡函数r()可由下式定义ro1<0f(t)=(2.14)1t≥0其拉氏变换为L[]=te-sdtd(2.15)sfdt :（4）正弦函数考虑下列正弦函数：01<0f(t):(2.16)1≥0Asinot式中，A和为常数，如图2.3（a）所示。根据欧拉公式1(ea-Jesinot=21因此，正弦函数的拉氏变换为(eJan-e-jer)e"diL[Asinot](2.17)A1AoA2js-jo2js+jo+02类似地，Acosot（如图2.3（b）所示）的拉氏变换可以导出如下：AsL[Acosot]=(2.18)5? +0?f(o)f(t)(b)(a)12
12 图 2.2 单位斜坡函数 因此，单位斜坡函数 rt() 可由下式定义 0 0 ( ) 0 t f t t t = （2.14） 其拉氏变换为 0 0 0 2 0 e e [ ] e d d 1 1 e d st st st st L t t t t t s s t s s − − − − = = − − − = = ∞ ∞ ∞ ∞ （2.15） （4）正弦函数 考虑下列正弦函数： 0 0 ( ) sin 0 t f t A t t = （2.16） 式中，A 和为常数，如图 2.3（a）所示。 根据欧拉公式 1 sin (e e ) 2 j t j t t j − = − 因此，正弦函数的拉氏变换为 0 2 2 [ sin ] (e e )e d 2 1 1 2 2 A j t j t st L A t t j A A A j s j j s j s − − = − = − = − + + ∞ （2.17） 类似地， A t cos （如图 2.3（b）所示）的拉氏变换可以导出如下： 2 2 [ cos ] As L A t s = + （2.18） ≥ ≥