2.1基本解 这样得到调和方程的基本解： 定义2.1.1对x∈R”,x≠0，称函数 n=2, D(x)= 2 1) x-",n≥3， n(n-2)o, 为调和方程的基本解。 例 11
2.1 基本解 11 这样得到调和方程的基本解： 定义2.1.1 对 n x ， x 0 ，称函数 2 1 , 2, 2 ( ) 1 , 3, ( 2) n n log x n x x n n n （2.1.1） 为调和方程的基本解
2.1基本解 在上面的定义中， 0n= (2.1.2) 表示R”中单位球的体积。特别地，有 4 02=π，03= 31 下面将用到如下事实：单位球面的表面积是0n,半径为'的n维球的表面积是 r-0n,而其体积r”0n。 12
2.1 基本解 12 在上面的定义中， 2 1 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 n n n n n n n （2.1.2） 表示 n 中单位球的体积。特别地，有 2 3 4 , . 3 下面将用到如下事实：单位球面的表面积是 n n ，半径为 r 的 n 维球的表面积是 n 1 n nr ，而其体积 n n r
2.1基本解 我们有时记D(x)=Φ(x)来强调基本解是径向的。由(2.1.1)易知，在x≠0 时，基本解是调和函数并且无穷次可微。通过直接计算可得到如下估计： DwsC a号 (2.1.3） 其中，C是与x无关的常数，DΦ表示函数Φ的所有二阶偏微商组成的Hessian矩 阵。 13
2.1 基本解 13 我们有时记 ( ) ( ) x x 来强调基本解是径向的。由（2.1.1）易知，在 时，基本解是调和函数并且无穷次可微。通过直接计算可得到如下估计： 1 ( ) , n C D x x 2 ( ) . n C D x x （2.1.3） 其中， C 是与 x 无关的常数， 2 D 表示函数 的所有二阶偏微商组成的 Hessian 矩 阵。 x 0
电子神做女学 例 /966 2.2平均值等式 14
2.2 平均值等式 14
2.2平均值等式 下述定理是表征调和函数特性的平均值公式与上（下）调和函数的次平均值 等式。由此可推出调和函数与上（下）调和函数的许多好的性质。 定理2.2.1（平均值性质）设u∈C2(2),在2中满足 -△u=0(≤0，≥0)， 则对任何一个球B(x,r)CC2,有 . (2.2.1) 2.2.2) 当等号成立时，本定理叫做调和函数的平均值定理。 15
2.2 平均值等式 15 下述定理是表征调和函数特性的平均值公式与上（下）调和函数的次平均值 等式。由此可推出调和函数与上（下）调和函数的许多好的性质。 定理2.2.1（平均值性质） 设 2 u C ( ) ，在 中满足 u 0( 0, 0), 则对任何一个球 B x r ( , ) ，有 1 ( , ) 1 ( ) ( , ) , n B x r n u x udS nr （2.2.1） ( , ) 1 ( ) ( , ) . n B x r n u x udy r （2.2.2） 当等号成立时，本定理叫做调和函数的平均值定理