引言 ∫divWdx=∫w.vdS (2.0.4) 这里，dS表示O2中的n-1维面积元素。 对向量W=(,·,”)的每一个分量应用结论()可得结论(i),结论(i)也被 称为散度定理。 应用定理1有： 定理2（分部积分公式）设“，v∈C(反)，则有 Susvd+dS.(i=1.2..n) 2.0 证明：对u,v应用定理1()即可得证。 6
引言 （2.0.4） 这里， dS 表示 中的 n 1 维面积元素。 对向量 1 ( , , )n W u u 的每一个分量应用结论 ()i 可得结论 ( ) ii ，结论 ( ) ii 也被 称为散度定理。 定理2（分部积分公式）设 1 u ， v C ( ) ，则有 ,( 1,2, , ). i i i x x u vdx uv dx uv dS i n divWdx W dS （2.0.5） 证明：对 u ， v 应用定理1 应用定理1有： ()i 即可得证。 6
引言 定理3(Green公式)设u,v∈C2(②)，则有 0laa=Jn0s: ov ds, 间jDu-Dd=-nAds+jo" w-k=- ou ds (i式称为Green第一公式，(ii式称为Green?第二公式。 7
引言 定理3（Green公式）设 u v C , ( ) 2 ，则有 ()i u udx dS ； ( ) ii v Du Dvdx u vdx u dS ； ( ) iii . v u u v v udx u v dS (ii)式称为Green第一公式，(iii)式称为Green第二公式。 7
引言 我们不加证明地叙述下面的定理，它将维积分转化为球面积分。 定理4（极坐标公式） ()设f:R”→R是连续可积函数，则对每一个x。∈R”,有 ∫nf=0可anSh (i)特别地，对每一个r>0,有 子a-=,成 定理4是Coarea公式的特殊情形。 8
引言 我们不加证明地叙述下面的定理，它将n 维积分转化为球面积分。 定理4（极坐标公式） ()i 设 : n f 是连续可积函数，则对每一个 0 n x ，有 0 0 ( , ) ( ) . n R B x r fdx fdS dr ( ) ii 特别地，对每一个 r 0 ，有 0 0 ( , ) ( , ) ( ) . B x r B x r d fdx fdS dr 定理4是Coarea公式的特殊情形。 8
电子神发女学 例 /966 21基本解 9
2.1 基本解 9
2.1基本解 记R"(n≥2)中点x的模为 下面，我们求调和方程的径向对称解。令u=(r),代入(2.01)，得 △u=d)+”-）=0, 解这个常微分方程，得到，对某常数a有山=ar”,因此有 blogr+c,n=2, 其中，b,c是常数。 )=br2-+c,n23, 10
2.1 基本解 10 记 下面，我们求调和方程的径向对称解。令 ( 2) n n 中点 x 的模为 1 2 2 1 . n i i r x x u u r ( ) ，代入（2.01），得 1 ( ) ( ) 0, n u u r u r r 解这个常微分方程，得到，对某常数 a 有 1 n u ar ，因此有 2 , 2, ( ) , 3, n blogr c n u r br c n 其中， b ， c 是常数