2.2平均值等式 定理2.2.2（逆平均值性质）设u∈C2(2),且对任意一个球B(x,)Cc2,满足平 均值等式 udS, 2.2.3) 则u(x)在Q内调和。 附注：将上述定理的条件减弱为山∈C(2),定理结论依然成立。 16
16 2.2 平均值等式 定理2.2.2（逆平均值性质）设 ，且对任意一个球 ，满足平 均值等式 则 在 内调和。 附注：将上述定理的条件减弱为 ，定理结论依然成立。 2 u C ( ) B x r ( , ) 1 ( , ) 1 ( ) , n B x r n u x udS nr （2.2.3） u x( ) u C ( )
2.2平均值等式 证明：反证法。不妨设在某球B(x,r)CC2内Au>0。 对定理221所法的pP)nanS=.0<pr, 由定理2.2.1的证明知 0=p1-n △(y)dy>0, 矛盾。 17
17 2.2 平均值等式 证明：反证法。不妨设在某球 B x r ( , ) 内 。 1 ( , ) 1 ( ) ( ), 0 n B x n udS u x r n u 0 则对定理2.2.1所述的 ， 由定理2.2.1的证明知 1 ( , ) 1 0 ( ) ( ) 0, n B x n u y dy n 矛盾
电子神做女学 /966 2,3最太值最小值原理 及其应用 18
2.3 最大值最小值原理 及其应用 18
2.3最大值最小值原理及其应用 ◆最大值最小值原理 ◆定解问题解的最大模估计与适定性 19
2.3 最大值最小值原理及其应用 19 最大值最小值原理 定解问题解的最大模估计与适定性
2.3.1最大值最小值原理 如前面所述，一个调和函数可以表示在一个物体内稳定的温度分布。所以， 该状态下物体内的温度分布不可能在内部有最高点和最低点，否则，热量就要从 温度高处流向温度低处，打破稳定状态。这种现象在数学上的反映就是：在一个 区域Ω上的调和函数不可能在区域内部达到最大值和最小值，除非它恒等于常数。 借助于平均值等式，对于下调和函数可以导出强最大值原理，而对于上调和 函数可以导出强最小值原理。 20
2.3.1 最大值最小值原理 20 如前面所述，一个调和函数可以表示在一个物体内稳定的温度分布。所以， 该状态下物体内的温度分布不可能在内部有最高点和最低点，否则，热量就要从 温度高处流向温度低处，打破稳定状态。这种现象在数学上的反映就是：在一个 区域 上的调和函数不可能在区域内部达到最大值和最小值，除非它恒等于常数。 借助于平均值等式，对于下调和函数可以导出强最大值原理，而对于上调和 函数可以导出强最小值原理。