关于 ACCABCD→ AXBCCXD的讨论 该性质的逆命题不成立,可分以下情况讨论。 (3)当A=而B≠Q时,有AcG成立,但不一定有BcD成立。 反例:令A=,B={1],G={3},D={4}。 (4)当A≠而B=时,有BcD成立,但不一定有Acc成立。 反例略
关于AC∧BD A×BC×D的讨论 该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （3）当A＝而B≠时，有AC成立，但不一定有BD成立。 反例：令A＝,B＝{1},C＝{3},D＝{4}。 （4）当A≠而B＝时，有BD成立，但不一定有AC成立。 反例略
例7,2 例7.2设A=[1,2},求P(A×A。 解答P(A)×A ⑦,{},[2},[1,2]}×[1,2 区,1>,<⑧,2> <[1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<[2},2>, <[1,2],1>,<{1,2},2》
例7.2 例7.2 设A={1,2},求P(A)×A。 P(A)×A ＝ {,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝ {<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>} 解答
例7,3 例7.3设A,B,G,D为任意集合,判断以下命题是否为真,并 说明理由。 (1)A×B=A×G→B=0 (2)A-(B×0)=(A-B)×(A-0) (3)A=B∧G=D→A×G=B×D (4)存在集合A,使得A→A×A 解答(1)不一定为真。当A=必,B=1,G=2时,有 AXB==AXG,但B≠C (2)不一定为真。当A=B={1},C={2时,有 A-(B×c)={1}-{<1,2》}={1 (A-B)×(A-0)=×{}= (3)为真。由等量代入的原理可证。 (4)为真。当A=⑦时,有A→AXA成立
例7.3 例7.3 设A，B，C，D为任意集合，判断以下命题是否为真，并 说明理由。 (1) A×B＝A×C B＝C (2) A-(B×C)＝(A-B)×(A-C) (3) A＝B∧C＝D A×C＝B×D (4) 存在集合A，使得A A×A (1) 不一定为真。当A＝，B＝{1},C＝{2}时，有 A×B＝＝A×C，但B≠C。 (2) 不一定为真。当A=B={1},C＝{2}时，有 A-(B×C)＝{1}–{<1,2>}＝{1} (A-B)×(A-C)＝×{1}＝ (3) 为真。由等量代入的原理可证。 (4) 为真。当A＝时，有 AA×A 成立。 解答
7.2二元关系( binary relation) 定义7.3如果一个集合满足以下条件之 (1)集合非空,且它的元素都是有序对 (2)集合是空集 则称该集合为一个二元关系,记作R。二元关系也可简称为关 系。对于二元关系R,如果<x,y>∈R,可记作xRy;如果 x,y>ER,则记作y 举例设R1=<1,2),<ab,R2=<1,2>,ab} 则R是二元关系,R2不是二元关系,只是一个集合, 除非将a和b定义为有序对。 根据上面的记法可以写1R12,aRb,a等。 R={上,下>,<前,后>,<正,反>,<左,右是否为二元关系?
7.2 二元关系(binary relation) 定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空，且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系，记作R。二元关系也可简称为关 系。对于二元关系R，如果<x,y>∈R，可记作xRy；如果 <x,y>R，则记作xRy。 设R1 ＝{<1,2>,<a,b>}，R2 ＝{<1,2>,a,b}。 则R1是二元关系，R2不是二元关系，只是一个集合， 除非将a和b定义为有序对。 根据上面的记法可以写1R1 2，aR1 b，aR1 c等。 举例 R＝{<上,下>,<前,后>,<正,反>,<左,右>}是否为二元关系？
7,2二元关系 定义7.4设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到B的二元关系;特别当A=B时,则叫做A上的二元关系。 举例A=0,1},B=1,2,3,那么 R1{<0,2习,R2A×B,R33,R4=<0,1) 等都是从A到B的二元关系,而R和R同时也是A上的 二元关系。 明》集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数。 如果|A|=n,那么AXA|=n2,A×A的子集就有2个。 每一个子集代表一个A上的二元关系,所以A上有2个不 同的二元关系。 例如|A|=3,则A上有23个不同的二元关系
集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数。 如果|A|=n，那么|A×A|=n2 ， A×A的子集就有 个。 每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 个不 同的二元关系。 例如|A|=3，则A上有 个不同的二元关系。 7.2 二元关系 定义7.4 设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到B的二元关系；特别当A=B时，则叫做A上的二元关系。 A={0,1}，B={1,2,3}，那么 R1 ={<0,2>}，R2 =A×B，R3 = ，R4 ={<0,1>} 等都是从A到B的二元关系，而R3和R4同时也是A上的 二元关系。 举例 2 2 n 2 2 n 2 3 2 说明