6-3有补格 有界格 在介绍有补格之前,先介绍有界格 定义6-31设<A,s>是一个格,如果存在元素a∈A, 对于任意的x∈A,都有a≤x,则为格的全下界记为“0”。 定理6-3.1格<A,s若有全下界,则全下界是唯一的。 口证明:用反证法 如果有两个不相等的全下界a和b,a,b∈A且b≠a 因为a是全下界,b∈A,所以a≤b 又因为b是全下界,a∈A,所以b≤a 由此得a=b 与有两个不相等的全下界a和b矛盾。口
一、有界格 在介绍有补格之前，先介绍有界格。 定义6-3.1 设<A, ≤>是一个格，如果存在元素aA , 对于任意的xA,都有a ≤ x,则为格的全下界,记为“0” 。 定理6-3.1 格<A, ≤>若有全下界,则全下界是唯一的。 证明：用反证法 如果有两个不相等的全下界a和b，a,bA 且b≠a 因为 a 是全下界， bA ，所以 a ≤ b 又因为 b 是全下界， aA ，所以 b ≤ a 由此得 a=b 与有两个不相等的全下界a和b 矛盾。 6-3 有补格
定义6-32设<A,s>是一个格,如果存在元素b∈A, 对于任意的x∈A,都有xsb,则为格的全上界,记为“1”。 口证明:用反证法 如果有两个不相等的全上界a和b,a,b∈A且 b≠a 因为a是全上界,b∈A,所以b≤a 又因为b是全上界,a∈A,所以a≤b 由此得a=b 与有两个不相等的全上界a和b矛盾
定义6-3.2 设<A, ≤>是一个格，如果存在元素bA, 对于任意的xA,都有x≤b,则为格的全上界,记为“1” 。 证明：用反证法 如果有两个不相等的全上界a和b ，a,bA 且 b≠a 因为 a 是全上界， bA ，所以 b ≤ a 又因为 b 是全上界， aA ，所以 a ≤ b 由此得 a=b 与有两个不相等的全上界a和b 矛盾。
例1设有限集合S,那么在格<(S),>中,空 集就是该格的全下界,集合S就是该格的全上界。 例2在图6-3.1所示的格中,h是全下界,a是全 上界
例2 在图6-3.1所示的格中，h是全下界，a是全 上界。 例1 设有限集合S，那么在格< (S)， >中，空 集就是该格的全下界，集合S就是该格的全上界
定义6-33设<A,s>是一个格,如果存在全下界 和全上界,则称该格为有界格。 定理6-33设<A,s>是一个有界格,则对于任意 的a∈A,都有 a∨1=1a∧1a(1是∨运算的零元,∧运算的 幺元) a∨0=aa∧0=0(0是∨运算的幺元,∧运算的 零元)
定义6-3.3 设<A, ≤>是一个格，如果存在全下界 和全上界，则称该格为有界格。 定理6-3.3 设<A, ≤>是一个有界格，则对于任意 的aA,都有 a∨1=1 a∧1=a (1是∨运算的零元,∧运算的 幺元) a∨0=a a∧0=0 (0是∨运算的幺元,∧运算的 零元)
口证明:(1)证aV1=1 因为a∨1∈A且1是全上界,所以a∨1≤1 又因为1≤a∨1,所以aV1=1 (2)证a∧1=a 因为asa,a≤1,所以a≤a∧1 又因为a∧1≤a,所以a∧1=a (3)证aV0=a(略) (4)证a∧0=0(略)口 由aV0=0∨a=a和a∧1=1a=a说明0和1分别是 关于运算∨和∧的幺元。另外,0和1分别是关于运算 ∧和∨的零元
证明：(1) 证 a∨1=1 因为 a∨1A且1是全上界，所以 a∨1 ≤ 1 又因为 1 ≤ a∨1，所以 a∨1=1 (2) 证 a∧1=a 因为 a ≤ a， a ≤ 1, 所以 a ≤ a∧1 又因为 a∧1 ≤ a， 所以 a∧1=a (3) 证a∨0=a (略) (4) 证a∧0=0 (略) 由a∨0=0∨a=a和a∧1=1∧a=a说明0和1分别是 关于运算∨和∧的幺元。另外，0和1分别是关于运算 ∧和 ∨的零元