6-4布尔代数 定义641一个有补分配格称为布尔格。 求一个元素的补元素可以看作一元运算,称为补运算 定义6-42设<AV,∧,->是由布尔格<A,≤ 是所诱导的代数系统。称这个代数系统为布尔代数。 例1设≤p(S),∪,∩,~>是由布尔格≤p(S),> 是所诱导的代数系统。这个代数系统为布尔代数 当S=a,b时的运算表如表641所示。P-253页
1 6-4 布尔代数 定义6-4.1 一个有补分配格称为布尔格。 求一个元素的补元素可以看作一元运算，称为补运算。 定义6-4.2 设<A,∨,∧，- > 是由布尔格<A, ≤ > 是所诱导的代数系统。称这个代数系统为布尔代数。 例1 设<(S), ∪,∩，~>是由布尔格<(S),> 是所诱导的代数系统。这个代数系统为布尔代数。 当S={a,b}时的运算表如表6-4.1所示。P-253页
表64.1 bs al 0{{ {a} }{a,b}{} {a,b} ta, b.a, b fa, b ta, b ∩ fa b] ta, b g 伪} b fa, bh {a{,b {a,b}
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定理6-41在一个有界分配格中,对于布尔代数中的 任意两个元素a,b,必定有 (a)=a a∨b=a∧b a∧b=a∨b 日证明:只证第(2)个等式 先证互补的两个式子相并等于全上界“1”。 (ab)∨(a∧b)=(aVb)Va)∧(avb)∨b) =(b∨aVa)∧(aV(b∨b) (b∨1)∧aV1)=1 再证互补的两个式子相交等于全下界“0”。 (ab)∧(a∧b)=0
3 定理6-4.1 在一个有界分配格中，对于布尔代数中的 任意两个元素a，b，必定有 ( a )=a a∨b= a∧b a∧b= a∨b 证明：只证第(2)个等式 先证互补的两个式子相并等于全上界“1” 。 (a∨b)∨(a∧b)= ((a∨b)∨a)∧((a∨b)∨b) =(b∨(a∨a))∧(a∨(b∨b)) =(b∨1)∧(a∨1) =1 再证互补的两个式子相交等于全下界“0” 。 (a∨b)∧(a∧b)= 0
定义64.3具有有限个元素的布尔代数称为有限布 尔代数。 定义6-44设<A∨,∧,>和<B,∨,∧,>是两个 布尔代数如果存在着A到B的双射f,对于任意的a3b∈A 都有 fasb=f(a)vf(b) f(a∧b)=f(a)∧f(b) fa=f(a 则称<A∨,∧,>和<B,∨,∧,>同构 可以证明对于每一正整数n,必存在着2个元素的布 尔代数;反之,任一有限布尔代数它的元素个数必为2的幂 次
4 定义6-4.3 具有有限个元素的布尔代数称为有限布 尔代数。 定义6-4.4 设<A,∨,∧, - >和<B,∨,∧, ->是两个 布尔代数,如果存在着A到B的双射f,对于任意的a,b A, 都有 f(a∨b)=f(a)∨f(b) f(a∧b)=f(a)∧f(b) f(a)=f(a) 则称<A,∨,∧, - >和<B,∨,∧, ->同构。 可以证明,对于每一正整数n,必存在着2 n个元素的布 尔代数;反之,任一有限布尔代数,它的元素个数必为2的幂 次
定义6-45设<A,≤>是一个格,且具有全下界0, 如果有元素a盖住0,则称元素a为原子 原子:与0相邻且比0大” 定理642设<A,≤>是一个具有全下界0的有限格 则对于任何一个非零元素b(即不等于全下界0的元素) 至少存在一个原子a,使得a≤b。 口证明:若b是原子,则有b≤b,若b不是原子,则必 有b存在,使得0-b1<b 若b1是原子,则定理得证,否则,必存在b2使得 0<b2<b1<b 由于<A,≤>是一个有下界的有限格,所以通过有限不骤 总可以找到一个原子b,使得0<b…<b2<b1<b口
5 定义6-4.5 设<A, ≤ > 是一个格，且具有全下界0， 如果有元素a盖住0，则称元素a为原子。 原子：与0相邻且比0“大” 定理6-4.2 设<A, ≤ > 是一个具有全下界0的有限格， 则对于任何一个非零元素b（即不等于全下界0的元素） 至少存在一个原子a ，使得a ≤ b 。 证明：若b是原子，则有b ≤ b ，若b不是原子，则必 有b1存在，使得0b1b 若b1是原子，则定理得证，否则，必存在b2使得 0b2b1b 由于<A, ≤ >是一个有下界的有限格，所以通过有限不骤 总可以找到一个原子bi ，使得0bi... b2b1b