的卡儿积的定义 定义7.2设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第 二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B 的笛卡儿积( Cartesian product),记作A×B。 笛卡儿积的符号化表示为 A×B=x,y>x∈A∧y∈B 举例口A表示某大学所有学生的集合,B表示大学开设的所有 课程的集合, 则AXB可以用来表示该校学生选课的所有可能情况。 口令A是直角坐标系中x轴上的点集,B是直角坐标系中y 轴上的点集, 于是A×B就和平面点集一一对应
定义7.2 设A，B为集合,用A中元素为第一元素，B中元素为第 二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B 的笛卡儿积(Cartesian product)，记作A×B。 笛卡儿积的符号化表示为 A×B＝{<x,y>|x∈A∧y∈B} 笛卡儿积的定义 ❑ A表示某大学所有学生的集合，B表示大学开设的所有 课程的集合， 则A×B可以用来表示该校学生选课的所有可能情况。 ❑ 令A是直角坐标系中x轴上的点集，B是直角坐标系中y 轴上的点集， 于是A×B就和平面点集一一对应。 举例
的卡尔积举例 举例设Aa,b},B={0,1,2},则 A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0》,b,1>,<b,2 BXA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b》 说明口如果|A|=m,|B=n,则|A×B|=mn
笛卡尔积举例 设A={a,b}, B={0,1,2}，则 A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>} B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>} 举例 说明 ❑ 如果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=mn
的卡儿积的远性质 (1)对任意集合A,根据定义有 Ax=,g×A= (2)一般的说,笛卡儿积运算不满足交换律,即 A×B≠B×A (当A≠∧B≠∧A≠B时) (3)笛卡儿积运算不满足结合律,即 (AXB)×G≠AX(B×C)(当A≠∧B≠∧G≠时) (4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律,即 A×(BU0)=(A×B)U(A×c) (BUC)×A=(B×A)∪(C×A A×(B∩c)=(A×B)∩(A×0) (B∩c)×A=(B×A)∩(C×A (5)Acc∧BcD→A× BCCXD
笛卡儿积的运算性质 (1)对任意集合A，根据定义有 A×＝, ×A＝ (2)一般的说，笛卡儿积运算不满足交换律，即 A×B≠B×A (当 A≠ ∧ B≠ ∧ A≠B 时) (3)笛卡儿积运算不满足结合律，即 (A×B)×C≠A×(B×C) (当 A≠ ∧ B≠ ∧ C≠ 时) (4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A) (5)AC ∧ BD A×B C×D
A×(B∪C)=(A×B∪(AxC的证明 任取<x,y> <x,y>∈A×(BU0 分x∈A∧y∈BUG 台ⅹ∈A∧(y∈BVy∈0 分(x∈A∧y∈B)V(x∈A∧y∈0 分<x,y>∈A×B<x,y>∈A× 台<x,y>∈(A×B)∪(AX0) 所以AX(BU0=(A×B)U(AX0)
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)的证明 任取 <x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A ∧ y∈B∪C x∈A ∧ (y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B) ∨ (x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B ∨ <x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
关于 ACCABCD→ AXBCCXD的讨论 该性质的逆命题不成立,可分以下情况讨论。 (1)当A=B=⑦时,显然有AC和BcD成立。 (2)当A≠⑦且B≠⑦时,也有A∞C和BcD成立,证明如下: 任取x∈A,由于B≠,必存在y∈B,因此有 x∈A∧y∈B →<x,y>∈AXB →<x,y>∈0×D →ⅹ∈c∧y∈D →∈c 从而证明了AcG 同理可证BcD
关于AC∧BD A×BC×D的讨论 该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。 （2）当A≠且B≠时，也有AC和BD成立，证明如下： 任取x∈A，由于B≠,必存在y∈B,因此有 x∈A∧y∈B <x,y>∈A×B <x,y>∈C×D x∈C∧y∈D x∈C 从而证明了 AC。 同理可证 BD