第六章习题 1.设总体X的分布函数为 F(x;61,62) x≥1;其中参数B1>0已知 0,x<1,O2>1知 x1,x2,…,xn是来自该总体的样本值。求未知参数2的最大似然估计和矩估 计 2.已知总体X的分布列为 (1-b) (参数0<b<1未知)。x1,x2,…,x是来自该总体的样本值。求b的最大似 然估计。 3.设总体X的分布密度为 P(x; o) p 0<X<+0 X12x2,…,Xn是来自总体X的样本,试求的矩估计和最大似然估计。 4.设总体X的分布密度为 61<x<+∞,2>0 (X1,X2…,Xn)为来自总体X的样本,试求6和B2的矩估计。 5.设总体服从对数正态分布,其分布密度为 (r px) 0.>0 O (x1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,试求参数H和2的最大似然估计。 6.设总体X的分布密度为 ≥6 x) (X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,试求参数6的最大似然估计 7.设O1和的2都是参数的两个独立的无偏估计量,且D61=2DO2,试求常
第六章 习 题 1．设总体 X 的分布函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < > ⎟ ≥ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ， 未知 其中参数 已知 0 , 1 1 , ; 0 ( ; , ) 1 2 1 1 1 1 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ x x F x x n x , x , , x 1 2 " 是来自该总体的样本值。求未知参数θ 2 的最大似然估计和矩估 计。 2．已知总体 X 的分布列为 X 1 2 3 P 2 θ 2θ (1−θ ) 2 (1−θ ) （参数 未知）。 x1, x2 ,", xn 是来自该总体的样本值。求θ 的最大似 然估计。 0 <θ <1 3．设总体 X 的分布密度为 = − − ∞ < x < +∞ x p x ), | | exp( 2 1 ( ; ) σ σ σ X X X n , , , 1 2 " 是来自总体 X 的样本，试求σ 的矩估计和最大似然估计。 4．设总体 X 的分布密度为 , , 0 1 ( ) 1 2 2 2 1 = < < +∞ > − − θ θ θ θ θ p x e x x ( , , , ) X1 X2 " Xn 为来自总体 X 的样本，试求θ1和θ 2的矩估计。 5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为 (X1 , X 2 ,", X n )是来自总体 X 的一个样本，试求参数 µ 和σ2 的最大似然估计。 , 0, 0 2 (ln ) exp 2 1 ( ) 2 2 > > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = − σ π σ σ x x u x p x 6．设总体 X 的分布密度为 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − − θ θ θ x e x p x x 0, , ( ) ( ) ( , , , ) X1 X2 " Xn 是来自总体 X 的一个样本，试求参数θ 的最大似然估计。 7．设θ ˆ 1和θ ˆ 2 都是参数θ 的两个独立的无偏估计量，且 Dθ ˆ 1 = 2Dθ ˆ 2 ，试求常 1
数a和β,使Q日+B62是的无偏估计,且在形如aO1+BO2的无偏估 计中方差最小 8.设总体X的分布密度为 P(x)=1 (6-x),0<x< 其它 (X,X2…,Xn)是它的一个样本,试求参数O的矩估计量6,6是否是的相 合估计? 9.设轴承内环的锻压零件的高度ξ~N(μ,0.42),现从中抽取20只内环,其平均 高度x=323mm,求p的置信度为95%的置信区间 10.某市教科所进行初中数学教学实验,实验班是从全市初一新生中抽取的一个 =50的随机样本。初中毕业时该班参加全省毕业会考的平均分为84.3,标准差 为10.78,如果全市都进行这种教学实验,并实验后全市毕业生的会考成绩服从 正态分布,那么,全市初中毕业会考成绩的平均分不会低于多少(置信度为 0.95)?并将其与现在全市初中毕业会考成绩的平均分71.9进行比较 两种机床生产同一个型号的滚珠,从甲机床生产的滚珠中抽取8个,从乙机 床生产的滚珠中抽取9个,测得这些滚珠的直径(单位:mm)如下: 甲机床:15.0,14.8,15.2,15.4,149,15.1,15.2,148 乙机床:152,15.0,14.8,15.1,146,14.8,15.1,145,15.0 设两台机床生产的滚珠直径均服从正态分布。 (1)若a2=a2时,求1-2的置信度为95%的置信区间。 (2)求方差比σ2/σ2的置信度为95%的置信区间。 12.设0.50,1.25,0.80,200是来自总体X的样本,已知Y=lnX服从正态分 布N(,1) (1)求X的数学期望EX(记X为b), (2)求的置信度为095的置信区间, 利用上述结果求b的置信度为095的置信区间 习题解答
数α 和 β ，使 1 2 是 ˆ ˆ αθ + βθ θ 的无偏估计，且在形如 的无偏估 计中方差最小。 1 2 ˆ ˆ αθ + βθ 8．设总体 X 的分布密度为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < < = 0, 其它 ( ), 0 6 ( ) 3 θ θ θ x x x p x ( , , , ) X1 X 2 " X n 是它的一个样本，试求参数θ 的矩估计量θ ˆ，θ ˆ是否是θ 的相 合估计？ 9. 设轴承内环的锻压零件的高度 ，现从中抽取 20 只内环，其平均 高度 2 ξ µ ~ N( , 0.4 ) x = 32.3mm，求µ 的置信度为 95% 的置信区间． 10．某市教科所进行初中数学教学实验，实验班是从全市初一新生中抽取的一个 n=50 的随机样本。初中毕业时该班参加全省毕业会考的平均分为 84.3，标准差 为 10.78，如果全市都进行这种教学实验，并实验后全市毕业生的会考成绩服从 正态分布，那么，全市初中毕业会考成绩的平均分不会低于多少(置信度为 0.95)？并将其与现在全市初中毕业会考成绩的平均分 71.9 进行比较． 11. 两种机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取 8 个，从乙机 床生产的滚珠中抽取 9 个，测得这些滚珠的直径（单位：mm）如下： 甲机床：15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8 乙机床：15.2，15.0，14.8，15.1，14.6，14.8，15.1，14.5，15.0 设两台机床生产的滚珠直径均服从正态分布。 （1）若σ 1 2 = σ 2 2 时，求 µ1 − µ 2 的置信度为 95%的置信区间。 （2）求方差比σ 1 2 /σ 2 2 的置信度为 95%的置信区间。 12. 设 0.50，1.25，0.80，2.00 是来自总体 X 的样本，已知Y = ln X 服从正态分 布 N(µ,1) . （1） 求 X 的数学期望 EX （记 X 为b ）， （2） 求µ 的置信度为 0.95 的置信区间， 利用上述结果求b 的置信度为 0.95 的置信区间。 习 题 解 答 2
1总体X的分布密度函数为 0.022x x≥61 f(x:B1,2)=F(x;B1,2) (1)似然函数为 f(x92)=∏ex份=e∏x), x,≥61 又hnL=nlnB2+mO2ln-(1+2)∑mnx 得似然方程 dIn n +m61-)Inx=0 d262 解得 ∑mnx-nlna∑(nx-lna) 是唯一驻点。又为21nL_一”<0,所以2是B2最大似然估计。 (d6 (2)第一步E(X)=x2Bx+x ∫ 0,0x-dx=2→a.=E(x) E(X)-6 第二步E(X)=x 第三步将E(X)=x代入B2的公式, 得到= 是62的矩估计量 2X的分布律为:P(X=x+1)=C2(1-6)6-2,x=0,12 X的分布律为 P(X1=x1+1) C2(1-0)02x,x,=0,2i=1,2,…,n
1 总体 X 的分布密度函数为 2 2 ( 1) 2 1 1; 1 2 1 2 1 , ( ; , ) '( ; , ) 0, x x f x F x x θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − + ⎧⎪ ≥ = = ⎨ ⎪⎩ < （1）似然函数为 2 2 2 2 ( 1) (1 ) 1 2 2 1 2 1 1; 1 1 1 ( ; , ) , n n n n n i i i i i i L f x x x x θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ i − + − + = = = = = ∏ ∏ = ∏ ≥ θ 又 2 2 1 2 1 ln ln ln (1 ) ln n i i L n n θ θ θ θ = = + − + ∑ x 得似然方程 1 2 2 1 ln ln 0 n i i d L n n x d θ θ θ = = + −∑ = 解得 2 1 1 1 1 ˆ ln ln (ln ln ) n n i i i i n n x n x θ θ θ = = = = ∑ ∑ − − 是唯一驻点。又因为 0 ( ) ln 2 2 2 2 2 = − < θ θ n d d L ，所以 2 是ˆθ θ 2 最大似然估计。 （2）第一步 E X x x dx ( 1) 2 1 2 1 2 ( ) − + +∞ ∫ = θ θ θ θ θ 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 ( ) 1 ( ) E X x dx E X θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ +∞ − = = ⇒ = − − ∫ 第二步 ˆ E( ) X x = 第三步 将 E(X ) = x ˆ 代入θ 2 的公式， 得到 1 2 ˆ θ θ − = x x 是θ 2 的矩估计量。 2. X 的分布律为： ( 1) (1 ) , 0,1,2 2 = + = 2 − = − P X x C x x x x θ θ Xi 的分布律为 C x i n P X x i x x x i i i i i (1 ) , 0,1,2. 1,2, , ( 1) 2 = 2 − = = " = + − θ θ 3
似然函数为 L=f(x:0)=∏C2(-0)e23x (2-x 又lnL=∑mnC+∑xlm(1-0)+∑(2-x)n 得似然方程dm∠之x d1-b6 x)=0 解得θ=—=1-x是唯一驻点 所以是O的最大似然估计 且 3.(1)EX=0,而EX1=ne=a 所以G的矩估计为G=1x (2)似然函数为L(a)=()"e= nL(a)=-nh2a∑ 对应的似然方程为 lnL()=-+1∑刚=0 所以Gk=∑|X 4.EX= a2dx=-62 de a e 2 dx=0+e
似然函数为 ∏ ∏ = = − = = − n i n i x x x i C i i i L f x 1 1 2 2 ( ;θ ) (1 θ ) θ 1 1 (2 ) 2 1 (1 ) n n i i i i i n x x x i C θ θ = = − = ∑ ∑ = − ∏ 又 2 1 1 1 ln ln ln(1 ) (2 )ln i n n n x i i i i i L C x θ x θ = = = = + ∑ ∑ − +∑ − 得似然方程 1 1 ln 1 (2 ) 0 1 n i n i i i x d L n x dθ θ θ = = = + − = − ∑ ∑ 解得 1 2 1 ˆ 1 2 2 n i i n x x n θ = − = = ∑ − 是唯一驻点 所以 θ ˆ 是θ 的最大似然估计 3．（1） EX = 0 ，而 1 2 x E X x e dx σ σ σ +∞ − −∞ = = ∫ 所以σ 的矩估计为 1 1 ˆ n i i X n σ = = ∑ （2）似然函数为 1 1 ( ) ( ) 2 n i i x n L e σ σ σ = −∑ = ， 1 ln ( ) ln 2 n i i x L n σ σ = σ = − −∑ 对应的似然方程为 2 1 ln ( ) 1 0 n i i L n x σ σ σ σ = ∂ = − + = ∂ ∑ ； 所以 1 1 ˆ n MLE i i X n σ = = ∑ 4． 1 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x EX e dx de θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − +∞ − − +∞ = = − ∫ ∫ 1 1 2 2 1 1 1 x x xe e dx θ θ θ θ θ θ θ θ2 − − − − +∞ +∞ = − + = + ∫ 4
(t+)2 6, 62 G2+202+2e DX=EX2-(EX)2=2,B2=S2, 02=Sn,所以B=x-Sn 5.总体X的分布密度为 L(u,02) tOX (x)=1 (nx-u) 2r2},x>0,a>0,则似然函数为 In L(u,0) n2x)nlna∑hx-∑(nx-) 似然方程为nL(u2)=1 (nx-4=0 a ohn4n)=-n2+1∑(mx-)2=0解似然方程, 得最大似然估计为分1 ∑加x,G2=(mx- 6.设(X1,X2,…,Xn)的观测值为(x1,x2,…,xn),由似然函数的表达式, 当0≤min{x…,x,}时,DO)= 当6>min{x1…,x}时,D(O)=0。 因此当6=x=min{x1…,Xxn}时,LO)取得最大值,即O的最大似然 估计为O=X0)=mn{x1…,Xn}。 7.由题知 E(a0+B02)=aEe+BEB2=(a+B)0=8 即a+B=1又 D(a61+B2)=aD+BD02=(2a2+B)D2 =(3a2-2a+1)DB2
1 2 2 1 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) 2 2 x t x t EX e dx e dt θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − +∞ − − +∞ + = = = + + ∫ ∫ 2 2 2 DX = − EX ( ) EX = θ 2 ， ， 2 2 2 n θ = S 2 n θ = S ，所以 θ1 = − X Sn 5．总体 X 的分布密度为 2 2 2 2 1 (ln ) (ln ) 2 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( ) 2 2 n i i i x x n n n i i i i L e e x x µ µ σ σ µ σ πσ πσ = − − − − = = ∑ = = ∏ ∏ 1 2 2 1 (ln ) ( ) exp , 0, 0 2 2 x p x x x µ σ πσ σ ⎧ ⎫ − = −⎨ ⎬ > > ⎩ ⎭ ,则似然函数为 2 2 2 1 1 1 ln ( , ) ln(2 ) ln ln (ln ) 2 2 n n i i i i n L n µ σ π σ x x = = σ = − − −∑ ∑ − − µ 似然方程为 2 2 1 ln ( , ) 1 (ln ) 0 n i i L x µ σ µ µ σ = ∂ = − ∂ ∑ = 2 2 2 2 4 1 ln ( , ) 1 (ln ) 0 2 2 n i i L n x µ σ µ σ σ σ = ∂ = − + − = ∂ ∑ ,解似然方程， 得最大似然估计为 1 1 ln n i i X n µ = = ∑ ， 2 2 1 1 (ln ) n i i X n σ µ = = − ∑ 。 6．设 1 2 ( , , , n X X " X ) 的观测值为( , x x 1 2 ,", xn ) ，由似然函数的表达式， 当θ ≤ min{ } x1 ,…, xn 时， 1 ( ) ( ) n i i x L e θ θ = −∑ − = ； 当 { } 时, min 1 , , n θ > x … x L( ) θ = 0。 因此当θ = = X(1) min{X1, , Xn} … 时， L(θ)取得最大值，即θ 的最大似然 估计为θ = = X(1) min{ } X1,…, Xn 。 7．由题知 1 2 1 2 E E ( ) αθ β + = θ α θ β + Eθ = (α + β)θ = θ 即 α + β =1又 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) (2 ) D αθ β + = θ α D D θ β + θ = α + β Dθ 2 2 2 = − (3α 2α θ +1)D ； 5