《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）向量组的线性相关性

例题2判断向量α=(0,4,2)是否是向量组%1=(1,2,3)， 2=(2,3,1),043=(3,12)的线性组合？ 解：先假定=1+，2+入g,即 0,4,2)=2(1,2,3)+入(2,3,1)+233,1,2) =(2+222+3九3,221+322+元3,321+九2+223) 因此 九+222+323=0， 2九1+322+23=4， 3元1+元2+2九3=2

1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2)       1 2 3 1 2 3 1 2 3        ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.                        解：先假定           1 1 2 2 3 3， 即 (2,3,1), (3,1,2) ? 2 (0,4,2) (1,2,3), 2 3 1 的线性组合 例题 判断向量 是否是向量组        

由于该线性方程组的系数行列式 123 231=-18≠0， 312 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 九1=1，九2=1,23=-1 于是a可表示为a=01+02-03

由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2    由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3        1, 1, 1 于是可表示为        1 2 3

二、线性相关和线性无关 1.定义2.3.2 设n维向量组a%1,2,&m，如果存 在不全为0的m个数k1,k2,.,km,使得 k1&1+k2凸+.+km&m=0 则称向量组a41,2,am线性相关，否则称它们线性 无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论：

1.定义2.3.2 设n维向量组1 , 2 ,., m ，如果存 在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性 无关. 二、线性相关和线性无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论:

()含有零向量的向量组必线性相关， (2)如果向量组41，%2，m中有某两个向量a=kC ()，对应成比例，那么向量组a1,必2，an线性 相关； (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的. (4)只有一个向量a的向量组线性相关的充要条件是 0=0;

(4)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是 =0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=kj (i≠j) ，对应成比例，那么向量组1 ,2 ,.,m线性 相关 ; (1)含有零向量的向量组必线性相关. (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的

2向量组线性关系的判定 向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 x1C1+x202+.+nCn=0 4 42j C,= j=1,2,.,n a11X1+a12X2+.+41mXn=0 0 a21x1+a22X2+.+a2mXn=0 0 am+am2x2++amnn=O 0

向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a                  0 0 0 0              x x x 1 1 2 2       n n 0                    0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     2.向量组线性关系的判定