若函数z=f(x,J)在点P(xo,y)处可微定理：则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有af-(0.Jo) = f,(xo, yo)cosα + f,(xo, yo)cos βal其中α，β为l的方向角证明：由函数f(x,J)在点P可微，得A f = fi(xo, yo)Ax + f,(xo, yo)A y+ o(/(Ax)? +(Ay)?): Ax = tcosα, Ay = tcos β, /(△x) +(Ay)? = tafafat故limcosβcoSα-alaxt-→0+C
定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 0 0 ( , ) 0 0 0 0 ( , )cos ( , )cos x y x y f x y f f l x y = + 证明: 由函数 f x y ( , ) 2 2 x y 0 0 0 0 = + + + f f x y x f x y y o x y ( , ) ( , ) ( ( ) ( ) ) 且有 在点 P 可微 , 得 若函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 P x y ( , ) 处可微， 0 lim t f f l t → + = 故 cos cos . f f x y = +
对于二元函数f(x,)，在点P(x,J)处沿方向1(方向角为α,β）的方向导数为af= f.(x,y)cosα + f,(x, y)cos βalx0特别：afaf元一)时,有·当l与x轴同向(α=0,β=2al0xafaf元)时,有·当1与x轴反向（α=元，β=al2ax
对于二元函数 f (x, y), 为, ) 的方向导数为 在点P(x, y)处沿方向 l (方 ( , )cos ( , )cos x y f f x y f x y l = + P l x y o x f l f = 特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0, = = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 , = = x f l f = − l 向角
例1.求函数z=xe-y花在点点P(1,O)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数解:取方向i= PQ=(1,-1),则é, =(cosα,cosβ) ==azR2y=1二PLreayax(1,0)(1,0)l(1,0)1(1,0)aafz福故所求方向导数为cosβcosα+al0xay
2 y z xe = P(1,0) P(1,0) Q(2, 1) − 例1. 求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数. 解： 取方向l PQ = = − (1, 1)， 则 (cos ,cos ) l e = 1 1 ( , ) 2 2 = − ， 2 (1,0) (1,0) 1; z y e x = = 2 (1,0) (1,0) 2 2, z y xe y = = 1 1 1 2 ( ) 2 2 = + − 故所求方向导数为 z l = 2 . 2 = − f f x y + cos cos
y=x2-1在点P(2.3)沿曲线例2.求函数z=3x^-朝x增大方向的切线方向的方向导数解：将已知曲线用参数方程表示为X=x122 xN它在点P的切向量为(1,2x)|x=2=(1,4)cos β:cos αOz606x2Va1自结束XH
例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的切线方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 2 (1, 2 ) x= 它在点 P 的切向量为 x , 17 1 cos = 17 60 = o x y 2 P = − = 1 2 y x x x = (1, 4) 17 4 cos = −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点处沿曲线例3求z=1-b=1在此点内法线上的方向导数。(α>0,b>0)6(P51)题：3)X解曲线V1在点P处切线的斜率为0-a则法线的斜率为从而法线的方程为X?O即ba0000机动自录上页返回下页结束
例 3 求 = − + 2 2 2 2 1 b y a x z 在点 ) 2 , 2 ( a b P 处沿曲线 1 2 2 2 2 + = b y a x 在此点内法线上的方向导数。 （P51 题 3） 解 曲线 1 2 2 2 2 + = b y a x 在点P处切线的斜率为 a b y = − 则法线的斜率为 , b a 从而法线的方程为 )，2 ( 2 a x b b a y − = − a b y b a x 2 2 − = − 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (a 0,b 0)