TE]R, (x)=f(x)-L(xo)+f(xo(x-x (n) (x-x0)2+…+ 2 imnR(x)只须证明z(x)=imn =EmD Rx) x+x(x-x1)”xn(x-x0)”1x→m(n-1)(x-x0)”2 (n-1) 应用 n (x) = r-r vm(x-x)罗必达法则 不能再用 罗必达法则mnf"(x)-f"m"(x f(ro) x→X x-x 应用导数定义,f"(x)-f(x0)=0
2021/2/20 11 [证] ( ) ] ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 n n n x x n f x x x f x R x f x f x f x x x − + + − + = − + − n n x x x x R x ( ) ( ) lim 0 → 0 − 1 0 ( ) ( ) lim 0 → − − = n n x x n x x R x 2 0 ( 1)( ) ( ) lim 0 → − − − = n n x x n n x x R x !( ) ( ) lim 0 ( 1) 0 n x x R x n n x x − = = − → ( )] ( ) ( ) ( ) lim [ ! 1 0 ( ) 0 0 ( 1) ( 1) 0 f x x x f x f x n n n n x x − − − = − − → 应用 罗必达法则 = 0 只须证明 能否再用 罗比达法则？ 应用导数定义 不能再用 罗必达法则 ！ [ ( ) ( )] 0 ! 1 0 ( ) 0 ( ) = f x − f x = n n n
三、带拉格朗日余项的泰勒公式 定理2:若函数f在某个包含点在内的 开区间a2,b)内有1到(n+1)阶的各阶 导数,则Vx∈(a,b),有 (x)=r(x)+r(x)x-x)+f"(x(x-xny2 2! (n) f (n+1) 0(x-x)”+ (5 n+1 ∴十 X-x (n+1)! (在x0与x之间 R,(x)= f(4) (n+D(r-x +1 2021/2/20 拉格朗日余项
2021/2/20 12 1 0 ( 1) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) + + − + + + − + − = + − + n n n n x x n f x x n f x x x f x f x f x f x x x 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( ) 在x0 与x之 间 拉格朗日余项 导 数 则 有 开区间 内 有 到 阶的各阶 若函数 在某个包含点 在内的 , ( , ), ( , ) 1 ( 1) 0 x a b a b n f x + 三、带拉格朗日余项的泰勒公式 定理2: