要求: P,(o=f(o) f(ro) P(x)=f(x0) P(xo)=f(xo)of xo 0 2021/2/20 6
2021/2/20 6 要求：( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = . . . . . . . . . ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) P x f x n n n = x y 0 o x y = f (x) ( ) 0 f x • ( ) ( ) 0 0 P x f x n =
P(x)=an+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0) P(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)1 Pvx)=2a2+3·a3(x-x0)…+n(n-1)an(x-x0)”2 )(x)=n(n-1)(n-2)…21an P 代入上述条件得到 o=f(x0),a1=f(x0),2a2=f(x) nla=f(xo) 2021/2/20
2021/2/20 7 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 1 1 2 0 0 ( ) 2 ( ) ( ) − = + − + + − n Pn x a a x x nan x x 2 2 3 0 0 ( ) 2 3 2 ( ) ( 1) ( ) − = + − + − − n n n P x a a x x n n a x x n n Pn (x) n(n 1)(n 2) 2 1a ( ) = − − . . . . . . . . . . . . . . . . . . 代入上述条件得到 ( ), 0 0 a = f x ( ), 1 x0 a = f 2 ( ), 2 0 a = f x . . . ! ( ) 0 ( ) n a f x n n =
即an=f(xn),a1=f(x0) f"(x0) f(ro) 2! 于是 P(x)=f(x0)+f(x1)x-x)+ f"(x0) X- 2! ∴十 (x-x0)” n! f(x)在x点的阶泰勒多项式 2021/2/20 8
2021/2/20 8 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) !( ) ( ) 2!( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + + − − = + − + 即 ( ), 0 0 a = f x ( ), 1 x0 a = f , 2!( ) 0 2 f x a = . . . !( ) , 0 ( )n f x a n n = 于是 f ( x ) 在x 0 点 的 n阶泰勒多项式
二、带皮亚诺佘项的泰勒公式 定理1:若函数∫在点x有n阶导数则 当x→x时,有 f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+ f"(x0) 2! n n Totol(r-x 其中。(x-x0)”]=Rn(x)(x→x) (皮亚诺余项 2021/220
2021/2/20 9 当 时 有 若函数 在 点 有 阶导数 则 , , 0 0 x x f x n → ( ) [( ) ] ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 n n n x x o x x n f x x x f x f x f x f x x x + + − + − − = + − + , [( ) ] ( ) ( ) x x0 Rn x x x0 其 中 − n = → (皮亚诺余项) 二、带皮亚诺余项的泰勒公式 定理1:
当xn=0时,有 f(x)=f(0)+f(0)x(0)2x 2 m(0) n x+olx ")(x→>0) n阶麦克劳林公式 2021/2/20
2021/2/20 10 当x0 = 0时,有 n阶麦克劳林公式 ( ) ( 0) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 + + → + = + + x x x n f x f f x f f x n n n