7.1.数学物理方程的建立—数学建模 16/81o 可以证明,理想流体(无粘性和无旋性)中声波方程为 0. 其中,a2=mn,p和po是空气处于平衡状态时的压强和密度 71.6 Maxwel电磁波方程 在电磁学和电动力学中,由微分形式的 Maxwell方程组可以证 明,真空中的电磁波方程(在国际单位下)为 E1-a2A3E=0, 应n-a2A3=0 其中,a2=1/1u0Eo光速的平方,E和分别是电场强度和磁场强 度 以上各个过程,形式和实质都有差异,但在数学描述上,它们遵 守相同的规律—都是波动形式的方程 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 16/81 ±y²§n6N£ÃÊ5ÚÃ^5¤¥(ŧ utt − a 2∆3u = 0, Ù¥§a 2 = γp0 ρ0 §p0 Ú ρ0 ´í?u²ïGØrÚÝ© 7.1.6 Maxwell >^ŧ 3>^ÆÚ>ÄåÆ¥§d©/ª Maxwell §|±y ²§ý¥>^ŧ£3ISü e¤ E~ tt − a 2∆3E~ = 0, H~ tt − a 2∆3H~ = 0. Ù¥§a 2 = 1/µ0ε0 1²§E~ Ú H~ ©O´>|rÝÚ^|r Ý© ±. þ. . . L. §. §/. ª. Ú. ¢. . Ñ. k. . É. §. 3. ê. Æ. £. ã. þ. §§. . . Å. . Ó. . 5. Æ. —Ñ. ´. Å. Ä. /. ª. . . §. ©
7.1.数学物理方程的建立—数学建模 17/81o 7.17扩散方程 由于浓度(原子、分子数或质量)不均匀,物质由浓度大的地方 向浓度小的地方转移的现象称为扩散 1.研究的物理量 浓度的空间分布和时间变化是u(x,y,z,t),基本任务就是要建立 u(x,y,z,t)满足的方程 扩散的规律 ①浓度梯度一描述浓度不均匀的程度,用浓度沿浓度等量面法向导 数一梯度来描述,记为Vu.即 i+xj+。k=grad-梯度算符 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 17/81 7.1.7 *ѧ dußÝ£f!©fê½þ¤Øþ!§ÔdßÝ/ ßÝ/=£y¡*Ñ© 1. ïÄÔnþ ßÝm©ÙÚmCz´ u(x, y, z, t)§Ä ?ÖÒ´ïá u(x, y, z, t) ÷v§© 2. *Ñ5Æ ßÝFÝ—£ãßÝØþ!§Ý§^ßÝ÷ßÝ þ¡{ ê—FÝ5£ã§P ∇u©= ∇ = ∂ ∂x ˆi + ∂ ∂y ˆj + ∂ ∂z kˆ = grad—FÝÎ.
7.1.数学物理方程的建立—数学建模 18/81回 ②扩散流强度一单位时间通过单位截面的原子、分子或质量数,记 为动.由扩散定律(斐克定律)确定,实验证明 d=-DVu, D扩散系数,是物质、时、空和温度的函数 ③能量(粒子数)守恒定律闭合曲面内单位时间增加的粒子数等 于单位时间内净流入闭合曲面内的粒子数与闭合曲面内净产生的 粒子诉之和 3.扩散方程 为简短起见,设微元为闭合曲面内长方体的体元dV= dxdydz, 单位时间内向x方向的扩散:设在x处经左侧面流入的流量是 grIx dydz ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 18/81 *Ñ6rÝ—ü mÏLü ¡f!©f½þê§P ~q©d*ѽƣܽƤ(½§¢y²µ ~q = −D∇u, D—*ÑX꧴Ô!!Ú§Ý¼ê© Uþ£âfê¤Åð½Æ—4Ü¡Sü mO\âfê uü mSÀ6\4Ü¡Sâfê4Ü¡SÀ) âfÚ© 3. *ѧ {áå§4Ü¡SNN dV = dxdydz§ ü mS x *ѵ3 x ?²ý¡6\6þ´ qx |x dydz
§7.1.数学物理方程的建立—数学建模 19/816 在x+dx处经由侧面流出的粒子数为 grIx+dr dydz 于是,单位时间内沿x轴净流入量为 (qxIx+dr -qxIx)dydz =--d aqx dxdydz- ax( dr)dv ax 同理,沿y,z方向净流入量为 0/O dv ay a dv az a2 对于没有源和汇的情况,有粒子数守恒定律,得 单位时间内微元中增加的粒子数=单位时间内净流入量 即 -dv (2m)+(物)+(①m) dv ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 19/81 3 x + dx ?²dý¡6Ñâfê qx |x+dx dydz. u´§ü mS÷ x ¶À6\þ − (qx |x+dx − qx |x ) dydz = − ∂qx ∂x dxdydz = ∂ ∂x D ∂u ∂x dV Ón§÷ y, z À6\þ ∂ ∂y D ∂u ∂y dV, ∂ ∂z D ∂u ∂z dV. éuvk Ú®¹§kâfêÅð½Æ§ ü mS¥O\âfê = ü mSÀ6\þ = ∂u ∂t dV = ∂ ∂x D ∂u ∂x + ∂ ∂y D ∂u ∂y + ∂ ∂z D ∂u ∂z dV,
7.1.数学物理方程的建立—数学建模 20/81 0 0 ay ay) az a 这就是三维无源无汇的扩散方程.当D是空间常数时,有 ut-DA3u =0 or ut-D(uxx+uyy +u x2)=0. 式中, 02a2a2 ax2 ay2 ax 称为三维 Laplace算子.如令 a2= D 则 △Awl=0 对于有源的情况,如源强度(单位时间单位体积中产生的粒子 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 20/81 ut − ∂ ∂x D ∂u ∂x + ∂ ∂y D ∂u ∂y + ∂ ∂z D ∂u ∂z = 0. ùÒ´nà î*ѧ© D ´m~ê§k ut − D∆3u = 0 or ut − D uxx + uyy + uzz = 0. ª¥§ ∆3 = ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 + ∂ 2 ∂x 2 , ¡n Laplace f©Xa 2 = D, K ut − a 2∆3u = 0. éuk ¹§X rÝ£ü mü NÈ¥)âf