7.1.数学物理方程的建立—数学建模 6/81圆 871数学物理方程的建立一数学建模 由于物理规律反映的是物理量在临近地点和临近时间之间的联 系,因此原则上讲,其建立过程为: 1确定研究对象; 2分析临近部分与所划出的小部分间的相互作用; 3分析短时间内相互作用的影响 把上述作用和影响经简化(只考虑主要的、重要的作用和影响) 整理就是数学物理方程 ①波动方程双曲型 数学物理方程{②输运方程抛物型偏微分方程 ③稳定常方程一椭圆型 当然还有其它类型的方程 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 6/81 §7.1 êÆÔn§ïá—êÆï duÔn5ÆN´Ônþ3C/:ÚCmmé X§ÏdKþù§ÙïáL§µ 1 (½ïÄé¶ 2 ©ÛCÜ©¤yÑÜ©mp^¶ 3 ©ÛámSp^K© rþã^ÚK²{z£ÄÌ!^ÚK¤ nÒ´êÆÔn§© êÆÔn§ Åħ—V. Ñ$§—Ô. ½~§—ý . ©§ ,kÙ§a.§©
§7.1.数学物理方程的建立—数学建模 7/81圆 7.11均匀弦的微小横振动 (1).振动与波动的机理一张力、弦(介质) 2).均匀、轻质弦的一维横向微小振动 轻质弦一无振动的弦在绷紧时是一根直线 选弦上各点所在平衡位置的直线为x轴,横向位移为u.因此,下面 的任务就是建立u(x,t)满足的方程 弦的振动是机械振动,机械运动的基本规律是质点动力 学 - Newton第二定律F=md.因此需要将质量均匀连续分布的弦分 为很多微元,对每个微元利用 Newton第二定律—建模使用的原理 (规律) Fr=T2 coS a2-TI COS a1=0, Fu=T2 sin a? -Ti sin al. ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 7/81 7.1.1 þ!uîÄ (1). ÄÅÄÅn—Üå!u£0¤ (2). þ!!uîÄ u—ÃÄu3 ;´© Àuþ:¤3²ï x ¶§î £ u©Ïd§e¡ ?ÖÒ´ïá u(x, t) ÷v§© uÄ´ÅħÅ$ÄÄ 5Æ´:Äå Æ—Newton 1½Æ F~ = m~a©ÏdIòþþ!ëY©Ùu© éõ§éz|^ Newton 1½Æ—ï ¦^n £5Ƥ© Fx = T2 cos α2 − T1 cos α1 = 0, Fu = T2 sin α2 − T1 sin α1.
7.1.数学物理方程的建立—数学建模 8/81 选择平衡位置在(x,x+dx)上的微元B加以研 究.对轻质弦,它仅受临近微元A,C施加的拉 力,2的作用 由于弦没有纵向(x轴向)的运动,因此,作用7 于B上的纵向合力为零.微元B所受外力的纵 横向分量分别为 图7-1 如用un(On2/ar2的缩写)表示横向加速度,则 T2 COS a2-T1 COS 01=0 (7.1-1) T2 sin a2- TI sin a1 =(pds)utt (71-2) 式中,p—线密度,d-微元B的长度 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 8/81 ÀJ²ï 3 (x, x + dx) þ B \±ï Ä©éu§§=ÉC A, C \. å T~ 1, T~ 2 ^© duuvkp£x ¶¤$ħÏd§^ u B þpÜå"© B ¤É åp! î©þ©O X^ utt ∂u 2 /∂t 2 L«î\ݧK T2 cos α2 − T1 cos α1 = 0, (7.1-1) T2 sin α2 − T1 sin α1 = (ρds)utt. (7.1-2) ª¥§ρ—ݧds— B Ý©
7.1.数学物理方程的建立—数学建模 9/81 由于仅考虑很小的振动,因此α1,a2为小量,所以, cosa1=1-∞2/2+…÷1,sina1=a1-/3!+ coS 02 /2+…÷1,sina2=02-a2/3!+ tga1=uxx(点x的斜率),tgo2=lxlx+ax(点x+dx的斜率) ds= v(dx)2+(du) +vdx÷y/1+tg2adx÷dx. 所以,式(71-1)和(712变为(弦dx在振动过程中质量不变) T2-T1=0 (71-3) lXr Ix+dx Tiur Ix =utpdx. (7.1 可见,弦中的张力既与x无关,也与t无关,是一常数,记为T 式(71-4成为 T(urx+dr -uxIx)=purr dx, rIx+dr -ur x utts ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 9/81 du=ÄéħÏd α1, α2 þ§¤±§ cos α1 = 1 − α 2 1 /2 + · · · 1 , sin α1 = α1 − α 3 1 /3! + · · · α1, cos α2 = 1 − α 2 2 /2 + · · · 1 , sin α2 = α2 − α 3 2 /3! + · · · α2, tgα1 = ux |x £: x Ǥ, tgα2 = ux |x+dx £: x + dx Ǥ, ds = p (dx) 2 + (du) 2 = q 1 + u 2 xdx q 1 + tg2αdx dx. ¤±§ª(7.1-1)Ú(7.1-2)C£u dx 3ÄL§¥þØC¤ T2 − T1 = 0, (7.1-3) T2ux |x+dx − T1ux |x = uttρdx. (7.1-4) §u¥ÜåQ x Ã'§ t Ã'§´~ê§P T© ª(7.1-4)¤ T (ux |x+dx − ux |x ) = ρuttdx, T ux |x+dx − ux |x dx = ρutt,
7.1.数学物理方程的建立—数学建模 10/81⊙ 记u x lx+dx dr 得B短的运动方程为 这就是弦振动方程.对均匀弦,p是常数,令 以后将知道这正是振动传播的速度, 则 tt (71-6) (3).讨论 大如果弦受到外加横向强迫力作用,每单位长度弦所受强迫勒为 产(x,),则 utt -aurr f(r, t) 7.1-7) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 10/81 P uxx = ux |x+dx − ux |x dx . B á$ħ ρutt − Tuxx = 0. (7.1-5) ùÒ´u. . Ä. . §. ©éþ!u§ρ ´~ê§- a 2 = T ρ , ±òù´ÄDÂÝ, K utt − a 2uxx = 0. (7.1-6) (3). ?Ø ✿ XJuÉ \îr½å^§zü Ýu¤Ér½V F~(x, t)§K utt − a 2uxx = f(x, t), (7.1-7)