问题：常系数线性微分方程的求解常数变易法（至少）欧拉指数法如果？常系数齐线性微分方程的求解1?有无其它方法？？比较系数法Laplace变换法A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 问题：常系数线性微分方程的求解 常系数齐线性微分方程的求解-如果？ 常数变易法 (至少) 比较系数法 Laplace变换法 有无其它方法？？ ? 欧拉指数法
、常系数齐线性方程和欧拉方程框架常系数齐线性方程小欧拉(Euler)?待定指数函数法特征根是单根的情形有复根的情形特征根是重根的情形应用欧拉方程7A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二、 常系数齐线性方程和欧拉方程 常系数齐线性方程 欧拉（Euler）待定指数函数法 • 特征根是单根的情形 • 有复根的情形 • 特征根是重根的情形 • 应用 欧拉方程 框架
1常系数齐线性方程的求解方法（Euler指数函数法）考虑方程dnd"xxL[x] =(4.19)..+ax=0a十dtn-1dt"其中a,az,a,为常数，称(4.19)为n阶常系数齐线性方程我们知道，一阶常系数齐线性方程dx-+at=0dt-at有解x=ce2A教学课件广东第二师范学院《常微分方程》首页上一页结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 1 常系数齐线性方程的求解方法(Euler指数函数法) 考虑方程 [ ] 0 (4.19) 1 1 = + 1 + + = − − a x dt d x a dt d x L x n n n n n , , , , 其中a1 a2 an 为常数 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程. 我们知道,一阶常系数齐线性方程 + at = 0 dt dx 有解 , at x ce − =
受此启发，对（4.19）偿试求指数函数形式的解(4.20)x=e,这里入是待定常数，可以是实数也可以是复数把它代入方程（4.19）得Le"]=(an+a,an-+...+an-a+a)e"=0因此e为（4.19）的解的充要条件是：是代数方程F(a)=n+a,an-+...+an-a+a,=0,(4.21)的根，方程（4.21）称为方程（4.19）的特征方程，它的根为方程（4.19）的特征根L[e"]=F(a)eA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解 , (4.20) t x e = 这里是待定常数,可以是实数也可以是复数, 把它代入方程(4.19)得 [ ] ( 1 ) 0 1 = + 1 + + − + = − t n n t n n L e a a a e 因此, 为(4.19)的解的充要条件是: t e 是代数方程 ( ) 0, (4.21) 1 1 = + 1 + + − + = − n n n n F a a a 的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根 为方程(4.19)的特征根. t t L e F e [ ] = ()
（1）特征根是单根的情形设，2，,2是特征方程（4.21)的n个彼此不相等的特征根，则相应方程（4.19）有如下n个解et,et,...,en(4.22)由于enettAntehe'stA,enMeltWleat,ent,....2enll=2nt2-les1an-lehvenA1教学课件广东第二师范学院《常微分方程》上二市结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (1) 特征根是单根的情形 等的特征根 则相应方程 有如下 个解 设 是特征方程 的 个彼此不相 n n n , (4.19) , , , (4.21) 1 2 , , , (4.22) 1 2 t t t n e e e 由于 [ , , , ] = 1 2 t t t n W e e e n t n n t n t t n t t t t t n n n e e e e e e e e e 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 − − −